Euler diyagramı

Euler diyagramı, "dört ayaklı hayvanlar" kümesinin "hayvanlar" kümesinin bir alt kümesi olduğunu, ancak "mineraller" kümesinin "hayvanlar" kümesiyle ayrık bir küme (ortak üyesi olmayan) olduğunu göstermektedir.

Euler diyagramı, kümeleri ve bu kümeler arasındaki ilişkileri görsel olarak temsil etmek için kullanılan bir diyagram türüdür. Özellikle karmaşık hiyerarşileri ve örtüşen tanımları açıklamada oldukça etkilidir. Bu diyagramlar, başka bir küme gösterim yöntemi olan Venn diyagramlarına benzer; ancak aralarında önemli bir fark vardır: Venn diyagramları tüm olası ilişkileri gösterirken, Euler diyagramları yalnızca gerçekten var olan (anlamlı) ilişkileri gösterir.

İsviçreli matematikçi Leonhard Euler (1707–1783), bu tür diyagramların tarihindeki en önemli isimlerden biridir. Ancak kendisi bu diyagramların mucidi değil, yalnızca ismine kaynak olan kişidir. Euler diyagramları ilk olarak mantık alanında, özellikle kıyas çalışmalarında geliştirilmiş; daha sonra küme teorisine uyarlanmıştır. Amerika Birleşik Devletleri’nde, 1960’lı yıllardaki “yeni matematik” hareketiyle birlikte hem Euler hem de Venn diyagramları, küme teorisi öğretiminin bir parçası haline gelmiştir. Zamanla bu diyagramlar sadece matematikte değil; okuma becerileri, organizasyon yapıları ve iş dünyası gibi farklı alanlarda da yaygın olarak kullanılmaya başlanmıştır.

Güneş Sistemi'ndeki farklı cisimler arasındaki ilişkileri gösteren Euler diyagramı.

Euler diyagramları, iki boyutlu bir düzlemde yer alan ve her biri bir küme ya da kategoriyi temsil eden basit kapalı şekillerden oluşur. Bu şekillerin birbirleriyle örtüşüp örtüşmemesi veya nasıl örtüştüğü, kümeler arasındaki ilişkileri ortaya koyar. Her eğri, düzlemi iki bölgeye ayırır: iç bölge sembolik olarak kümenin elemanlarını temsil ederken, dış bölge o kümeye ait olmayan tüm elemanları gösterir. Örtüşmeyen eğriler, ortak elemanı bulunmayan ayrık kümeleri ifade eder. Birbiriyle kesişen iki eğri ise ortak elemanlara sahip kümeleri temsil eder; her iki eğrinin de içinde kalan bölge, bu iki kümenin ortak elemanlarını yani kesişim kümesini gösterir. Başka bir eğrinin tamamen içinde yer alan bir eğri ise, o kümenin diğerinin bir alt kümesi olduğunu belirtir.

Venn diyagramları, Euler diyagramlarının daha kısıtlayıcı bir biçimidir. Bir Venn diyagramı, n adet eğri için mantıksal olarak mümkün olan tüm örtüşme bölgelerini, yani toplamda 2ⁿ farklı durumu içermek zorundadır; bu bölgeler, kümelerin tüm dahil olma ve dışlanma kombinasyonlarını temsil eder. Kümeye ait olmayan bölgeler genellikle siyah renkle gösterilir; buna karşılık Euler diyagramlarında, bir elemanın kümeye ait olup olmadığı hem örtüşme hem de renk kullanılarak ifade edilir.