Euler çarpımı

Euler çarpımı, matematiksel özellikle sayılar teorisinden olmak üzere analiz dalından da bir terimdir. Bu çarpım,asal sayılar kümesi üzerinde indekslenmiş sonsuz bir çarpım kullanılarak bir Dirichlet serisinin gösterimidir. Euler çarpımı, Riemann zeta fonksiyonunun Dirichlet serisine göre sonsuz çarpımı araştıran Leonhard Euler'in adını almıştır.

Tanım

$f$,pozitif tam sayılarda tanımlı olmak üzere aralarında asal $a$ ve $b$ için $f(a)f(b)=f(ab)$ bir fonksiyon ve $\textstyle F(s):=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {f(n)}{n^{s}}}$ bir Dirichlet serisi olsun. Bu seri,karmaşık bir sayı $s$ için mutlak yakınsak ise, o zaman $F(s)=\prod _{p\ {\rm {asal}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(p^{k})}{p^{ks}}}$ olur.Tüm asal sayılar üzerindeki bu sonsuz çarpımlara Euler çarpımı denir. Bu çarpımların değeri, $\textstyle \lim _{N\to \infty }P_{N}$ halinde limit olarak tanımlanır ki burada $P_{N}$, yalnızca N sınırının altındaki asal sayılara çarpım genişletilerek elde edilir.

İspat

Euler çarpımının geçerliliğini destekleyen çeşitli kanıtlar vardır.

Öncelikle,$F(s)$ serisinin mutlak yakınsaması ile, ayrıca her faktör $\textstyle \sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(p^{k})}{p^{ks}}}$ kesinlikle yakınsar. Bundan, her $N$ için kısmi çarpım $F_{N}(s)=\prod _{p\leq N \atop p\ {\text{asal sayı}}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {f(p^{k})}{p^{ks}}}$ olur.Bu , Cauchy çarpım formülü ve asal sayıların artan dizisiyle hemen şunu gösterir: Eğer $2=p_{1}<p_{2}<\cdots <p_{j}\leq N<p_{j+1}$ ise:$F_{N}(s)=\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{k_{j}=0}^{\infty }{\frac {f(p_{1}^{k_{1}})\cdots f(p_{j}^{k_{j}})}{(p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{j}^{k_{j}})^{s}}}=\sum _{k_{1}=0}^{\infty }\cdots \sum _{k_{j}=0}^{\infty }{\frac {f(p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{j}^{k_{j}})}{(p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{j}^{k_{j}})^{s}}}.$İkinci adımda,$f$ fonksiyonunun çarpımsallığı kullanılmış. Bu durumda şu denklem doğrudur:$F_{N}(s)=\sum _{n\leq N}{\frac {f(n)}{n^{s}}}+\sum _{n>N}{'}{\frac {f(n)}{n^{s}}},$İkinci toplamdaki çizgi, sadece tüm asal çarpanları $\leq N$ olan $n>N$ sayılarının sayılacağını gösterir.Bu yüzden her $\epsilon >0$ için $|F(s)-F_{N}(s)|\leq \sum _{n=N+1}^{\infty }\left|{\frac {f(n)}{n^{s}}}\right|<\varepsilon$ olan bir $N>0$ vardır.Böylece kısmi çarpımların dizisi $F_{N}(s)$, her bir $F(s)$ mutlak yakınsama alanındaki $s$ için yakınsar ve teorem gösterilir.

Riemann zeta fonksiyonunun Euler çarpımı

Formül

Her $n\in \mathbb {N}$ için $f(n)=1$ durumunda $f$ bariz bir şekilde tamamen çarpımsaldır. Bu nedenle her $\operatorname {Re} (s)>1$ için şu denklem doğrudur:$\zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p\ \mathrm {prim} }{\frac {1}{1-{\frac {1}{p^{s}}}}}.$Bu $\zeta (s)$ fonksiyonu Riemann zeta fonksiyonu olarak da bilinir.