Cauchy çarpımı

Matematikte Cauchy çarpımı, $a_{n}$ ve $b_{n}$ gibi iki dizinin

$c_{n}=\sum _{k=0}^{n}a_{k}b_{n-k}$

biçiminde ifade edilen süreksiz katlamasıdır. Kavram, Augustin Louis Cauchy tarafından bulunmuştur.

İki dizinin çarpımına eşit olan ifade doğal sayılar kümesi ($R[\mathbb {N} ]$) yarıöbek halkasının bir elemanı olarak da değerlendirilmektedir.

Diziler

$a_{n}$ ve $b_{n}$ dizileri iki kurallı serinin (yakınsak olmaları gerekmiyor) terimleri olarak da düşünülebilir.

$\sum _{n=0}^{\infty }a_{n},\qquad \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}$

Bu serilere daha çok gerçel ve karmaşık sayılarda rastlanmaktadır. n = 0, 1, 2, … değerleri için Cauchy çarpımı şu biçimde tanımlanır:

$\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\cdot \left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)=\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}$

"Kurallı" terimi, diziler üzerinde gerçekleştirilen değişikliklerin yakınsaklık kavramını göz önüne almadan yapıldığını belirtmektedir.

İki dizinin de yakınsadığı durumlarda akla

$\sum _{n=0}^{\infty }c_{n}$

sonsuz dizi toplamının

$\left(\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\right)\left(\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}\right)$

çarpımına eşit olduğu gelmektedir. Bu akıl yürütme kurallı durumlar için doğru sonucu vermektedir ancak iki dizinin Cauchy çarpımı dizilerin en az birinin yakınsak olmadığı durumlarda da tanımlıdır.

Örnekler

Sonlu diziler

Tüm $i>n$ değerleri için $x_{i}=0$ ve tüm $i>m$ değerleri için $y_{i}=0$ koşulları sağlanıyorsa $\sum x$ ve $\sum y$'nin Cauchy çarpımı $(x_{0}+\cdots +x_{n})(y_{0}+\cdots +y_{m})$ olarak hesaplanır. Bu, sonlu dizilerin Cauchy çarpımının olağan çarpma işlemine indirgenebildiğini göstermektedir.

Sonsuz diziler

• $a,b\in \mathbb {R}$ değerleri için $x_{n}=a^{n}/n!\,$ ve $y_{n}=b^{n}/n!\,$ eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın.

$C(x,y)(n)=\sum _{i=0}^{n}{\frac {a^{i}}{i!}}{\frac {b^{n-i}}{(n-i)!}}={\frac {(a+b)^{n}}{n!}}$

eşitliği tanım gereği sağlanır ve binom açılımı tarafından desteklenir. Kurallı diziler için geçerli olan $\exp(a)=\sum x$ ve $\exp(b)=\sum y$ eşitlikleri $\exp(a+b)=\sum C(x,y)$ sonucunu doğurur. İki mutlak yakınsak dizinin Cauchy çarpımının limiti bu dizilerin limitleri çarpımına eşit olduğundan aşağıdaki ifade kanıtlanmış olur.

$\exp(a+b)=\exp(a)\exp(b)$ (tüm $a,b\in \mathbb {R}$ değerleri için)

• Tüm $n\in \mathbb {N}$ değerleri için $x(n)=1$ koşulu sağlanıyorsa $C(x,x)(n)=n+1$ eşitliği tüm $n\in \mathbb {N}$ değerleri için geçerlidir. Bu durumda Cauchy çarpımı

$\sum C(x,x)=(1,1+2,1+2+3,1+2+3+4,\dots )$

olarak hesaplanır ve bu ifade yakınsamaz.

Yakınsaklık ve Mertens kuramı

x ve y gerçel diziler olmak üzere, $\sum y$ dizisi Y'ye yakınsıyor ve $\sum x$ dizisi X'e mutlak yakınsıyorsa bu dizilerin Cauchy çarpımı ($\sum C(x,y)$) XY'ye yakınsar. Franz Mertens tarafından kanıtlanan bu kuram, iki dizinin koşullu yakınsak olmaları durumunda geçerli değildir. Örneğin, $x_{n}=(-1)^{n}/n$ dizisi bir koşullu yakınsak dizi üretir ancak $C(x,x)$ sıfıra yakınsamamaktadır.

Mertens kuramının kanıtı

$X_{n}=\sum _{i=0}^{n}x_{i}$, $Y_{n}=\sum _{i=0}^{n}y_{i}$ ve $C_{n}=\sum _{i=0}^{n}C(x,y)(i)$ eşitliklerinin sağlandığı varsayılsın. Terimlerin yerlerinin değiştirilmesiyle $C_{n}=\sum _{i=0}^{n}\sum _{k=0}^{i}x_{k}y_{i-k}=\sum _{i=0}^{n}Y_{i}x_{n-i}$ sonucuna ulaşılır ve böylece $C_{n}=\sum _{i=0}^{n}(Y_{i}-Y)x_{n-i}+YX_{n}$ eşitliği sağlanır. ε > 0 olmak koşuluyla, $\sum x$ mutlak yakınsak ve $\sum y$ yakınsak olduğundan tüm n ≥ N değerleri için $|Y_{n}-Y|<{\frac {\varepsilon /4}{\sum _{n=0}^{\infty }|x_{n}|+1}}$ eşitsizliğini sağlayan bir N tam sayısı ve tüm $n\geq M$ değerleri için $|x_{n-N}|<{\frac {\varepsilon }{4N\sup |Y_{n}-Y|+1}}$ eşitsizliğini sağlayan bir M tam sayısı bulunur. Ayrıca, $n\geq L$ koşulu sağlanıyorsa $|X_{n}-X|<{\frac {\varepsilon /2}{|Y|+1}}$ eşitsizliğini sağlayan bir L tam sayısı da bulunur. Böylece; N, M ve L'den büyük tüm n tam sayıları için

$|C_{n}-XY|=|\sum _{i=0}^{n}(Y_{i}-Y)x_{n-i}+Y(X_{n}-X)|\leq \sum _{i=0}^{N-1}|Y_{i}-Y||x_{n-i}|+\sum _{i=N}^{n}|Y_{i}-Y||x_{n-i}|+|Y||X_{n}-X|<\varepsilon$

eşitsizliği yazılabilir. Dizi yakınsaklığı tanımı gereği $\sum C(x,y)\to XY$ ifadesi de geçerlidir.

Cesàro kuramı

x ve y gerçel diziler olmak üzere $\sum x\to A$ ve $\sum y\to B$ ise

${\frac {1}{n}}\left(\sum _{i=0}^{n}C(x,y)_{n}\right)\to AB$

ifadesi yazılabilir.

Genellemeler

Şu ana dek açıklanan tüm kavramlar $\mathbb {C}$ (karmaşık sayılar) kümesinde tanımlı diziler için geçerlidir. Cauchy çarpımı, çarpma işleminin iç çarpım olarak tanımlandığı $\mathbb {R} ^{n}$ uzaylarında (Öklit uzayları) da tanımlıdır. Bu tanıma göre, iki dizinin mutlak yakınsıyor oluşu bu dizilerin Cauchy çarpımının dizi limitlerinin iç çarpımına mutlak yakınsadığı anlamına gelmektedir.

İşlev katlamasıyla ilişkisi

Çifte sonsuz diziler için de Cauchy çarpımı tanımı yapılabilmektedir ancak çarpım her koşulda tanımlı değildir. Örneğin, 1 sabit dizisinin kendisiyle Cauchy çarpımı ($(\dots ,1,\dots )$) tanımsızdır.