Einstein ilişkisi (kinetik teori) - Vikipedi
İçeriğe atla
Ana menü
Gezinti
  • Anasayfa
  • Hakkımızda
  • İçindekiler
  • Rastgele madde
  • Seçkin içerik
  • Yakınımdakiler
Katılım
  • Deneme tahtası
  • Köy çeşmesi
  • Son değişiklikler
  • Dosya yükle
  • Topluluk portalı
  • Wikimedia dükkânı
  • Yardım
  • Özel sayfalar
Vikipedi Özgür Ansiklopedi
Ara
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç

İçindekiler

  • Giriş
  • 1 Özel durumlar
    • 1.1 Elektriksel hareketlilik denklemi
    • 1.2 Stokes-Einstein denklemi
    • 1.3 Yarı iletken
    • 1.4 Nernst-Einstein denklemi
  • 2 Genel durumun kanıtı
  • 3 Ayrıca bakınız
  • 4 Kaynakça
  • 5 Dış bağlantılar

Einstein ilişkisi (kinetik teori)

  • العربية
  • Català
  • Deutsch
  • English
  • Español
  • فارسی
  • Français
  • עברית
  • İtaliano
  • 日本語
  • 한국어
  • Norsk bokmål
  • Português
  • Русский
  • Українська
  • 中文
Bağlantıları değiştir
  • Madde
  • Tartışma
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Araçlar
Eylemler
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Genel
  • Sayfaya bağlantılar
  • İlgili değişiklikler
  • Kalıcı bağlantı
  • Sayfa bilgisi
  • Bu sayfayı kaynak göster
  • Kısaltılmış URL'yi al
  • Karekodu indir
Yazdır/dışa aktar
  • Bir kitap oluştur
  • PDF olarak indir
  • Basılmaya uygun görünüm
Diğer projelerde
  • Vikiveri ögesi
Görünüm
Vikipedi, özgür ansiklopedi

Fizikte (özellikle gazların kinetik teorisinde) Einstein ilişkisi; 1904'te William Sutherland'in,[1][2][3] 1905'te Albert Einstein'ın[4] ve 1906'da Marian Smoluchowski'nin[5] Brown hareketi üzerine yaptıkları çalışmalarında bağımsız olarak ortaya koydukları önceden beklenmedik bir bağlantıdır. Denklemin daha genel biçimi:[6]

D = μ k B T , {\displaystyle D=\mu \,k_{\text{B}}T,} {\displaystyle D=\mu \,k_{\text{B}}T,}

burada;

D difüzyon katsayısıdır;
μ, "hareketlilik" veya parçacığın terminal sürüklenme hızının uygulanan bir kuvvete oranıdır, μ = vd/F;
kB, Boltzmann sabitidir;
T mutlak sıcaklıktır.

Bu denklem, bir dalgalanma-dağılım teoreminin erken bir örneğidir.[7]

İlişkinin sık kullanılan iki önemli özel biçimi şunlardır:

D = μ q k B T q {\displaystyle D={\frac {\mu _{q}\,k_{\text{B}}T}{q}}} {\displaystyle D={\frac {\mu _{q}\,k_{\text{B}}T}{q}}} (elektriksel hareketlilik denklemi, yüklü parçacıkların difüzyonu için[8]
D = k B T 6 π η r {\displaystyle D={\frac {k_{\text{B}}T}{6\pi \,\eta \,r}}} {\displaystyle D={\frac {k_{\text{B}}T}{6\pi \,\eta \,r}}} (Stokes-Einstein denklemi, küresel parçacıkların düşük Reynolds sayılı bir sıvıdan difüzyonu için)

burada;

q, bir parçacığın elektrik yüküdür;
μq, yüklü parçacığın elektriksel hareketliliğidir;
η dinamik viskozitedir;
r, küresel parçacığın yarıçapıdır.

Özel durumlar

[değiştir | kaynağı değiştir]

Elektriksel hareketlilik denklemi

[değiştir | kaynağı değiştir]

Elektrik yükü q olan bir parçacık için, elektriksel hareketliliği μq, genelleştirilmiş hareketliliği μ ile μ = μq/q denklemiyle ilişkilidir. μq parametresi, parçacığın terminal sürüklenme hızının uygulanan bir elektrik alanına oranıdır. Bu nedenle, yüklü bir parçacık durumunda denklem şu şekilde verilir:

D = μ q k B T q , {\displaystyle D={\frac {\mu _{q}\,k_{\text{B}}T}{q}},} {\displaystyle D={\frac {\mu _{q}\,k_{\text{B}}T}{q}},}

burada;

  • D {\displaystyle D} {\displaystyle D} difüzyon katsayısıdır ( m 2 s − 1 {\displaystyle \mathrm {m^{2}s^{-1}} } {\displaystyle \mathrm {m^{2}s^{-1}} }).
  • μ q {\displaystyle \mu _{q}} {\displaystyle \mu _{q}} elektriksel hareketliliktir ( m 2 V − 1 s − 1 {\displaystyle \mathrm {m^{2}V^{-1}s^{-1}} } {\displaystyle \mathrm {m^{2}V^{-1}s^{-1}} }).
  • q {\displaystyle q} {\displaystyle q} parçacığın elektrik yüküdür (C, coulomb)
  • T {\displaystyle T} {\displaystyle T} plazmadaki elektron sıcaklığı veya iyon sıcaklığıdır (K).[9]

Sıcaklık, plazma için daha yaygın olan Volt cinsinden verilirse:

D = μ q T Z , {\displaystyle D={\frac {\mu _{q}\,T}{Z}},} {\displaystyle D={\frac {\mu _{q}\,T}{Z}},}

burada;

  • Z {\displaystyle Z} {\displaystyle Z} parçacığın yük sayısıdır (birimsiz)
  • T {\displaystyle T} {\displaystyle T} plazmadaki elektron sıcaklığı veya iyon sıcaklığıdır (V).

Stokes-Einstein denklemi

[değiştir | kaynağı değiştir]

Düşük Reynolds sayısı sınırında; hareketlilik μ, sürtünme katsayısı ζ {\displaystyle \zeta } {\displaystyle \zeta }'nın tersidir. Yayılan nesnenin ters momentum gevşeme süresi (atalet momentumunun rastgele momente kıyasla ihmal edilebilir hale gelmesi için gereken süre) için bir sönüm sabiti γ = ζ / m {\displaystyle \gamma =\zeta /m} {\displaystyle \gamma =\zeta /m} sıklıkla kullanılır. Yarıçapı r olan küresel parçacıklar için Stokes yasası:

ζ = 6 π η r , {\displaystyle \zeta =6\pi \,\eta \,r,} {\displaystyle \zeta =6\pi \,\eta \,r,}

burada η {\displaystyle \eta } {\displaystyle \eta } ortamın viskozitesidir. Böylece Einstein-Smoluchowski ilişkisi Stokes-Einstein ilişkisi ile sonuçlanır:

D = k B T 6 π η r . {\displaystyle D={\frac {k_{\text{B}}T}{6\pi \,\eta \,r}}.} {\displaystyle D={\frac {k_{\text{B}}T}{6\pi \,\eta \,r}}.}

Bu, sıvılarda öz-difüzyon katsayısını tahmin etmek için uzun yıllar boyunca uygulandı ve izomorf teorisi ile tutarlı bir versiyon, Lennard-Jones sisteminin bilgisayar simülasyonları ile doğrulandı.[10]

Dönel difüzyon durumunda, sürtünme ζ r = 8 π η r 3 {\displaystyle \zeta _{\text{r}}=8\pi \eta r^{3}} {\displaystyle \zeta _{\text{r}}=8\pi \eta r^{3}} ve rotasyonel difüzyon sabiti D r {\displaystyle D_{\text{r}}} {\displaystyle D_{\text{r}}}:

D r = k B T 8 π η r 3 . {\displaystyle D_{\text{r}}={\frac {k_{\text{B}}T}{8\pi \,\eta \,r^{3}}}.} {\displaystyle D_{\text{r}}={\frac {k_{\text{B}}T}{8\pi \,\eta \,r^{3}}}.}

Yarı iletken

[değiştir | kaynağı değiştir]

Rastgele bir durum yoğunluğuna sahip bir yarı iletkende, yani deliklerin veya elektronların yoğunluğu p {\displaystyle p} {\displaystyle p} ve karşılık gelen yarı Fermi seviyesi (veya elektrokimyasal potansiyel) φ {\displaystyle \varphi } {\displaystyle \varphi } arasındaki p = p ( φ ) {\displaystyle p=p(\varphi )} {\displaystyle p=p(\varphi )} formunun bir ilişkisi, Einstein ilişkisi şöyledir:[11][12]

D = μ q p q d p d φ , {\displaystyle D={\frac {\mu _{q}p}{q{\frac {dp}{d\varphi }}}},} {\displaystyle D={\frac {\mu _{q}p}{q{\frac {dp}{d\varphi }}}},}

burada μ q {\displaystyle \mu _{q}} {\displaystyle \mu _{q}} elektriksel hareketliliktir. Durumların yoğunluğu için parabolik bir dağılım ilişkisini varsayan bir örnek ve genellikle inorganik yarı iletken malzemeleri tanımlamak için kullanılan Maxwell-Boltzmann istatistikleri hesaplanabilir:

p ( φ ) = N 0 e q φ k B T , {\displaystyle p(\varphi )=N_{0}e^{\frac {q\varphi }{k_{\text{B}}T}},} {\displaystyle p(\varphi )=N_{0}e^{\frac {q\varphi }{k_{\text{B}}T}},}

burada N 0 {\displaystyle N_{0}} {\displaystyle N_{0}} N 0 {\displaystyle N_{0}} {\displaystyle N_{0}}, basitleştirilmiş ilişkiyi veren mevcut enerji durumlarının toplam yoğunluğudur:

D = μ q k B T q . {\displaystyle D=\mu _{q}{\frac {k_{\text{B}}T}{q}}.} {\displaystyle D=\mu _{q}{\frac {k_{\text{B}}T}{q}}.}

Nernst-Einstein denklemi

[değiştir | kaynağı değiştir]

Bir elektrolitin eşdeğer iletkenliğinin ifadelerinden katyonların ve anyonların elektrik iyonik hareketlilik ifadelerindeki difüziviteleri değiştirerek, Nernst-Einstein denklemi türetilir:

Λ e = z i 2 F 2 R T ( D + + D − ) . {\displaystyle \Lambda _{e}={\frac {z_{i}^{2}F^{2}}{RT}}(D_{+}+D_{-}).} {\displaystyle \Lambda _{e}={\frac {z_{i}^{2}F^{2}}{RT}}(D_{+}+D_{-}).}

Genel durumun kanıtı

[değiştir | kaynağı değiştir]

Einstein ilişkisinin kanıtı birçok referansta bulunabilir, örneğin bkz. Kubo.[13]

Bazı sabit, harici potansiyel enerji U {\displaystyle U} {\displaystyle U}'nun, belirli bir x {\displaystyle \mathbf {x} } {\displaystyle \mathbf {x} } konumunda bulunan bir parçacık üzerinde korunumlu bir F ( x ) = − ∇ U ( x ) {\displaystyle F(\mathbf {x} )=-\nabla U(\mathbf {x} )} {\displaystyle F(\mathbf {x} )=-\nabla U(\mathbf {x} )} kuvveti (örneğin, bir elektrik kuvveti) oluşturduğunu varsayalım. Parçacığın v ( x ) = μ ( x ) F ( x ) {\displaystyle v(\mathbf {x} )=\mu (\mathbf {x} )F(\mathbf {x} )} {\displaystyle v(\mathbf {x} )=\mu (\mathbf {x} )F(\mathbf {x} )} hızıyla hareket ederek tepki vereceğini varsayıyoruz. Şimdi konumun bir fonksiyonu olarak yerel derişim ρ ( x ) {\displaystyle \rho (\mathbf {x} )} {\displaystyle \rho (\mathbf {x} )} olan çok sayıda böyle parçacık olduğunu varsayalım. Bir süre sonra denge kurulacaktır: parçacıklar en düşük potansiyel enerji U {\displaystyle U} {\displaystyle U}'ya sahip alanların etrafında yığılacaktır, ancak yine de difüzyon nedeniyle bir dereceye kadar yayılacaktır. Dengede, parçacıkların net akışı yoktur: parçacıkların sürüklenme akımı olarak adlandırılan daha düşük U {\displaystyle U} {\displaystyle U}'ya doğru çekilme eğilimi, parçacıkların difüzyon nedeniyle yayılma eğilimini mükemmel bir şekilde dengeler ve buna difüzyon akımı denir (bkz. sürüklenme-difüzyon denklemi).

Sürüklenme akımı nedeniyle parçacıkların net akışı:

J d r i f t ( x ) = μ ( x ) F ( x ) ρ ( x ) = − ρ ( x ) μ ( x ) ∇ U ( x ) , {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {drift} }(\mathbf {x} )=\mu (\mathbf {x} )F(\mathbf {x} )\rho (\mathbf {x} )=-\rho (\mathbf {x} )\mu (\mathbf {x} )\nabla U(\mathbf {x} ),} {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {drift} }(\mathbf {x} )=\mu (\mathbf {x} )F(\mathbf {x} )\rho (\mathbf {x} )=-\rho (\mathbf {x} )\mu (\mathbf {x} )\nabla U(\mathbf {x} ),}

yani, belirli bir konumdan geçen parçacıkların sayısı, parçacık konsantrasyonu çarpı ortalama hıza eşittir.

Difüzyon akımı nedeniyle parçacıkların akışı, Fick yasasına göre,

J d i f f u s i o n ( x ) = − D ( x ) ∇ ρ ( x ) , {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {diffusion} }(\mathbf {x} )=-D(\mathbf {x} )\nabla \rho (\mathbf {x} ),} {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {diffusion} }(\mathbf {x} )=-D(\mathbf {x} )\nabla \rho (\mathbf {x} ),}

burada eksi işareti, parçacıkların daha yüksek derişimden daha düşük derişime aktığı anlamına gelir.

Şimdi denge durumunu düşünün. İlk olarak, net akış yoktur, yani J d r i f t + J d i f f u s i o n = 0 {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {drift} }+\mathbf {J} _{\mathrm {diffusion} }=0} {\displaystyle \mathbf {J} _{\mathrm {drift} }+\mathbf {J} _{\mathrm {diffusion} }=0}. İkincisi, etkileşmeyen nokta parçacıklar için, denge yoğunluğu ρ {\displaystyle \rho } {\displaystyle \rho } yalnızca yerel potansiyel enerji U {\displaystyle U} {\displaystyle U}'nin bir fonksiyonudur, yani iki konum aynı U {\displaystyle U} {\displaystyle U}'ya sahipse, o zaman aynı ρ {\displaystyle \rho } {\displaystyle \rho }'ye de sahip olacaklardır (örneğin aşağıda tartışıldığı gibi Maxwell-Boltzmann istatistiklerine bakınız). Bunun anlamı, zincir kuralının uygulanması,

∇ ρ = d ρ d U ∇ U . {\displaystyle \nabla \rho ={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}\nabla U.} {\displaystyle \nabla \rho ={\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}\nabla U.}

Bu nedenle, dengede:

0 = J d r i f t + J d i f f u s i o n = − μ ρ ∇ U − D ∇ ρ = ( − μ ρ − D d ρ d U ) ∇ U . {\displaystyle 0=\mathbf {J} _{\mathrm {drift} }+\mathbf {J} _{\mathrm {diffusion} }=-\mu \rho \nabla U-D\nabla \rho =\left(-\mu \rho -D{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}\right)\nabla U.} {\displaystyle 0=\mathbf {J} _{\mathrm {drift} }+\mathbf {J} _{\mathrm {diffusion} }=-\mu \rho \nabla U-D\nabla \rho =\left(-\mu \rho -D{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}\right)\nabla U.}

Bu ifade her x {\displaystyle \mathbf {x} } {\displaystyle \mathbf {x} } konumunda geçerli olduğundan, Einstein ilişkisinin genel biçimini ifade eder:

D = − μ ρ d ρ d U . {\displaystyle D=-\mu {\frac {\rho }{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}}.} {\displaystyle D=-\mu {\frac {\rho }{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}}.}

Klasik parçacıklar için ρ {\displaystyle \rho } {\displaystyle \rho } ve U {\displaystyle U} {\displaystyle U} arasındaki ilişki Maxwell-Boltzmann istatistikleriyle modellenebilir:

ρ ( x ) = A e − U ( x ) k B T , {\displaystyle \rho (\mathbf {x} )=Ae^{-{\frac {U(\mathbf {x} )}{k_{\rm {B}}T}}},} {\displaystyle \rho (\mathbf {x} )=Ae^{-{\frac {U(\mathbf {x} )}{k_{\rm {B}}T}}},}

burada A {\displaystyle A} {\displaystyle A} toplam parçacık sayısıyla ilgili bir sabittir. Bu nedenle:

d ρ d U = − 1 k B T ρ . {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}=-{\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}\rho .} {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}=-{\frac {1}{k_{\rm {B}}T}}\rho .}

Bu varsayım altında, bu denklemi genel Einstein ilişkisine dahil etmek şunları verir:

D = − μ ρ d ρ d U = μ k B T , {\displaystyle D=-\mu {\frac {\rho }{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}}=\mu k_{\rm {B}}T,} {\displaystyle D=-\mu {\frac {\rho }{\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} U}}}=\mu k_{\rm {B}}T,}

ki bu klasik Einstein ilişkisine karşılık gelir.

Ayrıca bakınız

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Smoluchowski faktörü
  • İletkenlik (elektrolitik)
  • Stokes yarıçapı
  • İyon taşıma numarası

Kaynakça

[değiştir | kaynağı değiştir]
  1. ^ World Year of Physics – William Sutherland at the University of Melbourne 29 Haziran 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.. Essay by Prof. R Home (with contributions from Prof B. McKellar and A./Prof D. Jamieson) dated 2005. Accessed 2017-04-28.
  2. ^ Sutherland William (1905). "LXXV. A dynamical theory of diffusion for non-electrolytes and the molecular mass of albumin". Philosophical Magazine. Series 6. 9 (54): 781-785. doi:10.1080/14786440509463331. 24 Haziran 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi24 Haziran 2021. 
  3. ^ P. Hänggi, "Stokes–Einstein–Sutherland equation" 24 Haziran 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi..
  4. ^ Einstein, A. (1905). "Über die von der molekularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen". Annalen der Physik (Almanca). 322 (8): 549-560. Bibcode:1905AnP...322..549E. doi:10.1002/andp.19053220806. 10 Mayıs 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi23 Haziran 2021. 
  5. ^ von Smoluchowski, M. (1906). "Zur kinetischen Theorie der Brownschen Molekularbewegung und der Suspensionen". Annalen der Physik (Almanca). 326 (14): 756-780. Bibcode:1906AnP...326..756V. doi:10.1002/andp.19063261405. 24 Haziran 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi23 Haziran 2021. 
  6. ^ Dill, Ken A.; Bromberg, Sarina (2003). Molecular Driving Forces: Statistical Thermodynamics in Chemistry and Biology (İngilizce). Garland Science. s. 327. ISBN 9780815320517. 24 Haziran 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi. Erişim tarihi: 23 Haziran 2021. 
  7. ^ Umberto Marini Bettolo Marconi, Andrea Puglisi, Lamberto Rondoni, Angelo Vulpiani, "Fluctuation-Dissipation: Response Theory in Statistical Physics".
  8. ^ Van Zeghbroeck, "Principles of Semiconductor Devices", Chapter 2.7 6 Mayıs 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi..
  9. ^ Gas Discharge Physics. Springer. 2001. ss. 20-28. ISBN 978-3540194620. 
  10. ^ Costigliola, Lorenzo; Heyes, David M.; Schrøder, Thomas B.; Dyre, Jeppe C. (14 Ocak 2019). "Revisiting the Stokes-Einstein relation without a hydrodynamic diameter". The Journal of Chemical Physics (İngilizce). 150 (2). s. 021101. ISSN 0021-9606. PMID 30646717. 24 Haziran 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi24 Haziran 2021. 
  11. ^ Ashcroft, N. W.; Mermin, N. D. (1988). Solid State Physics. New York (USA): Holt, Rineheart and Winston. s. 826. 
  12. ^ Bonnaud, Olivier (2006). Composants à semiconducteurs (Fransızca). Paris (France): Ellipses. s. 78. 
  13. ^ Kubo, R. (1966). "The fluctuation-dissipation theorem". Rep. Prog. Phys. 29 (1): 255-284. Bibcode:1966RPPh...29..255K. doi:10.1088/0034-4885/29/1/306. 

Dış bağlantılar

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Einstein ilişki hesaplayıcıları
  • İyon yayılımı 24 Haziran 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Einstein_ilişkisi_(kinetik_teori)&oldid=34584963" sayfasından alınmıştır
Kategoriler:
  • İstatistiksel mekanik
  • Albert Einstein
Gizli kategori:
  • Webarşiv şablonu wayback bağlantıları
  • Sayfa en son 20.49, 4 Ocak 2025 tarihinde değiştirildi.
  • Metin Creative Commons Atıf-AynıLisanslaPaylaş Lisansı altındadır ve ek koşullar uygulanabilir. Bu siteyi kullanarak Kullanım Şartlarını ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursunuz.
    Vikipedi® (ve Wikipedia®) kâr amacı gütmeyen kuruluş olan Wikimedia Foundation, Inc. tescilli markasıdır.
  • Gizlilik politikası
  • Vikipedi hakkında
  • Sorumluluk reddi
  • Davranış Kuralları
  • Geliştiriciler
  • İstatistikler
  • Çerez politikası
  • Mobil görünüm
  • Wikimedia Foundation
  • Powered by MediaWiki
Einstein ilişkisi (kinetik teori)
Konu ekle