Dönüşüm geometrisi

Bir eksene karşı bir yansıma ve ardından birinciye paralel bir ikinci eksene karşı bir yansıma, bir öteleme ile sonuçlanan toplam bir hareketle sonuçlanır.

Bir eksene karşı bir yansıma ve ardından birinciye paralel olmayan ikinci bir eksene karşı bir yansıma, eksenlerin kesişme noktası etrafında bir dönme ile sonuçlanan toplam bir hareketle sonuçlanır.

Matematikte, dönüşüm geometrisi veya dönüşümsel geometri, geometrik dönüşüm gruplarına ve bunların içindeki değişmez özelliklere odaklanarak geometri çalışmalarına verilen matematiksel ve pedagojik yaklaşımın adıdır. Teoremleri ispatlamaya odaklanan Öklid geometrisinin klasik sentetik geometri yaklaşımına karşıdır.

Örneğin dönüşüm geometrisinde bir ikizkenar üçgenin özellikleri, belirli bir doğrunun yanındaki bir yansıma ile kendisine eşleştirildiği olgusundan çıkarımda bulunulur. Bu durum, üçgenlerin eşleşiklik ölçütleri bakımından klasik kanıtlarla çelişmektedir.

Dönüşümleri, geometrinin temeli olarak kullanmak amacıyla ilk sistematik uğraş 19. yüzyılda Erlangen programı adı altında Felix Klein tarafından gerçekleştirilmiştir. Yaklaşık bir yüzyıl boyunca bu yaklaşım matematik araştırma çevreleriyle kısıtlı kalmıştır. 20. yüzyılda matematik eğitiminde yararlanmak için uğraşlar verilmiştir. Andrei Kolmogorov bu yaklaşımı (kümeler teorisi ile birlikte), Rusya'da geometri öğretim reformuna teklifinin bir ögesi olarak dahil etmiştir. Bu çabalar, 1960'larda Yeni Matematik hareketi olarak bilinen matematik öğretiminin genel reformuyla bir sonuca ulaşmıştır.

Pedagoji

Dönüşüm geometrisinin incelenmesi, genellikle günlük yaşamda bulunan yansıma simetrisi çalışmalarıyla başlamaktadır. İlk gerçek dönüşüm, bir eksene karşı yansıma ya da bir çizgideki yansımadır. İki yansımanın bileşkesi, çizgiler kesiştiğinde bir dönme ile veya paralel olduklarında bir öteleme ile sonuçlanmaktadır. Böylelikle dönüşümler yoluyla öğrenciler Öklid düzlem izometrisi hakkında bilgi edinmektedirler. Örneğin, dikey bir çizgideki yansımayı ve yataya 45° eğimli bir çizgiyi düşünün. Bir bileşkenin saat yönünün tersine çeyrek dönüş (90°) gerçekleştirdiği, ters bileşkenin ise saat yönünde çeyrek dönüş gerçekleştirdiği gözlemlenebilir. Bu tür sonuçlar, dönüşüm geometrisinin sırabağımlı (yeri değiştirilemez) işlemleri bünyesinde barındırdığını göstermektedir.

Herhangi bir üçgende bulunan yedinci alan üçgeninin ispatında, bir çizgideki yansımanın eğlenceli bir uygulamasını ortaya çıkmaktadır.

Genç öğrencilere tanıtılan bir diğer dönüşüm ise benzeşimdir. Bununla birlikte, bir daire dönüşümündeki yansıma, düşük sınıflar için uygun görünmemektedir. Bu nedenle, ilkokul dönüşüm geometrisinden daha büyük bir çalışma alanı olan inversif geometri (tersinme geometrisi), genellikle üniversite öğrencilerine ayrılmıştır.

Somut simetri gruplarıyla yapılan deneyler, soyut grup teorisinin önünü açmaktadır. Diğer somut etkinlikler, dönüşüm geometrisini ifade etmek için karmaşık sayılar, hiperkarmaşık sayılar veya matrisler içeren hesaplamaları kullanmaktadır. Bu tür dönüşüm geometrisi dersleri, klasik sentetik geometri ile çelişen alternatif bir görüş sunar. Öğrenciler daha sonra analitik geometri ile karşılaştığında, koordinattaki dönme ve yansıma fikirlerini kolayca kavramaktadırlar. Bütün bu kavramlar, yansıma kavramının genişletildiği lineer cebre hazırlamaktadır.

Eğitimciler, anaokulundan liseye çocuklar için dönüşüm geometrisiyle ilgili projeler ve deneyler tasarlamışlardır ve bunların da bazı yararlarını göstermektedirler. Bazı tasarılarda öğrenciler, soyut dönüşümleri uygulamaya başlamadan önce, bir şeklin her noktasının eşlenmesinin tanımları yoluyla somut nesnelerle uygulama gerçekleştirmeye başlamaktadırlar.

Rusya'da geometri derslerini yeniden yapılandırma girişiminde Kolmogorov, dönüşümlerin bakış açısından sunmayı teklif etmiş, böylece geometri dersleri kümeler teorisine göre yapılandırılmıştır. Bu durum, daha önce "eşleşik" olarak adlandırılan şekiller için, okullarda "eşit" teriminin ortaya çıkmasını beraberinde getirmiştir: Bir şekil bir nokta kümesi olarak görüldüğünden, yalnızca kendisine eşit olabilir ve üst üste binen iki üçgen izometrilerine göre eşleşik olduğu söylenir.

Bir yazar, grup teorisinin dönüşüm geometrisindeki önemini şu şekilde dile getirmiştir:

Kitabımın dönüşüm gruplarına ilk giriş olarak hizmet edebilmesi amacıyla, ilk ilkelerden gereksinim duyduğum bütün grup teorisini geliştirmek için ve bunları daha önce hiç görmediyseniz soyut grup teorisi kavramlarını geliştirmek için biraz zorluk çektim.

Ayrıca bakınız

• Kiralite (matematik)
• Euler'in döndürme teoremi
• Hareket (geometri)
• Dönüşüm matrisi

Kaynakça

• Heinrich Guggenheimer (1967) Düzlem Geometrisi ve Grupları, Holden-Day.
• Roger Evans Howe & William Barker (2007) Continuous Symmetry: From Euclid to Klein, American Mathematical Society,978-0-8218-3900-3 .
  • Robin Hartshorne (2011) Continuous Symmetry Review, American Mathematical Monthly 118: 565 – 8.
• Roger Lyndon (1985) Groups and Geometry, # 101 London Mathematical Society Lecture Note Series, Cambridge University Press0-521-31694-4 .
• PS Modenov ve AS Parkhomenko (1965) Geometrik Dönüşümler, Akademik Yayın'dan Michael BP Slater tarafından çevrildi.
• George E. Martin (1982) Dönüşüm Geometrisi: Simetriye Giriş, Springer Verlag .
• Isaak Yaglom (1962) Geometrik Dönüşümler, Random House (Rusça'dan çevrilmiştir).
• Max Jeger (1966) Dönüşüm Geometrisi (Almancadan çevrilmiştir).
• Gatsby Charitable Foundation'dan notları öğreten dönüşümler
• Kristin A. Camenga (NCTM'nin 2011 Yıllık Toplantısı ve Sergisi) - Yansımalar, Rotasyonlar ve Çevirilerle Geometrik Kanıtı Dönüştürmek. 
• Nathalie Sinclair (2008) ABD'deki Geometri Müfredatının Tarihi, pps. 63-66.
• Zalman P. Usiskin ve Arthur F. Coxford. Onuncu Sınıf Geometrisine Dönüşüm Yaklaşımı, Matematik Öğretmeni, Cilt. 65, No. 1 (Ocak 1972), s. 21-30 4 Nisan 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. .
• Zalman P. Usiskin. Onuncu Sınıf Geometride Öklid Geometri Öğretiminin Öğrenci Başarı ve Tutumlarına Dönüşüm Yoluyla Etkisi, Journal for Research in Mathematics Education, Cilt. 3, No. 4 (Kasım 1972), s. 249-259. 4 Nisan 2016 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• AN Kolmogorov. Küçük parçalar ve diğer parçalar, Bebekler, 1965, Nº 2, s. 24–29. (Okul geometri dersinde geometrik dönüşümler) (Rusça)
• High School Plane Geometry Through Transformations: An Exploratory Study, Vol. I. University of Wisconsin--Madison. 1970. 
• High School Plane Geometry Through Transformations: An Exploratory Study, Vol II. University of Wisconsin--Madison. 1970.