Brezis-Gallouët eşitsizliği

Matematiğin bir alt dalı olan analizde, Brezis-Gallouët eşitsizliği, yeteri kadar türevlenebilen iki gerçel değişkenli fonksiyonların esaslı sınırlılığıyla ilgili ve kısmi diferansiyel denklemlerin çalışılmasında çok yararlı olan bir eşitsizliktir. Bu eşitsizlik, Haïm Brezis and Thierry Gallouët'nin adını taşımaktadır.

Eşitsizliğin ifadesi

$\Omega \subset \mathbb {R} ^{2}$, düzenli sınırı olan sınırlı bir kümenin içi veya dışı ya da $\mathbb {R} ^{2}$nin kendisi olsun. O zaman, hemen hemen her yerde 0dan farklı her $u\in H^{2}(\Omega )$ için

$\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{1}(\Omega )}\left(1+{\Bigl (}\log {\bigl (}1+{\frac {\|u\|_{H^{2}(\Omega )}}{\|u\|_{H^{1}(\Omega )}}}{\bigr )}{\Bigr )}^{1/2}\right)$

eşitsizliğini sağlayan ve sadece $\Omega$'ya bağlı gerçel bir $C$ sayısı vardır.

Her $v\in H^{2}(\mathbb {R} ^{2})$ için

$\int _{\mathbb {R} ^{2}}{\bigl (}(\partial _{11}^{2}v)^{2}+2(\partial _{12}^{2}v)^{2}+(\partial _{22}^{2}v)^{2}{\bigr )}=\int _{\mathbb {R} ^{2}}{\bigl (}\partial _{11}^{2}v+\partial _{22}^{2}v{\bigr )}^{2}$

olduğu için, Brezis-Gallouët eşitsizliğinden hareketle, hemen hemen her yerde 0dan farklı her $u\in H^{2}(\Omega )$ için,

$\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{1}(\Omega )}\left(1+{\Bigl (}\log {\bigl (}1+{\frac {\|\Delta u\|_{L^{2}(\Omega )}}{\|u\|_{H^{1}(\Omega )}}}{\bigr )}{\Bigr )}^{1/2}\right)$

elde edilir ki eşitslizliğin bu hali Brezis-Gallouët eşitsizliğin daha çok atfedilen halidir.

İspat

$\Omega$'nın düzenli sınırı olduğu varsayımıyla aşağıdaki şu özelliklere sahip bir $P~:~H^{2}(\Omega )\to H^{2}(\mathbb {R} ^{2})$ genişleme operatörünün varlığı elde edilmiş olur:

• $P$ operatörü $H^{1}(\Omega )$ uzayından $H^{1}(\mathbb {R} ^{2})$ uzayına sınırlı bir operatördür.
• $P$ operatörü $H^{2}(\Omega )$ uzayından $H^{2}(\mathbb {R} ^{2})$ uzayına sınırlı bir operatördür.
• Her $u\in H^{2}(\Omega )$ için, $Pu$'nun $\Omega$'ya kısıtlanması yine $u$ olur.

$\|u\|_{H^{1}(\Omega )}=1$ özelliğine sahip bir $u\in H^{2}(\Omega )$ alalım. $v=Pu$ fonksiyonunun Fourier dönüşümünü ${\widehat {v}}$ ile gösterelim. O hâlde,

• $\|(1+|\xi |){\widehat {v}}\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}\leq C$,
• $\|(1+|\xi |^{2}){\widehat {v}}\|_{L^{2}(\mathbb {R} ^{2})}\leq C\|u\|_{H^{2}(\Omega )}$,
• $\|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq \|v\|_{L^{\infty }(\mathbb {R} ^{2})}\leq C\|{\widehat {v}}\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{2})}$.

eşitsizliklerini sağlayan ve sadece $\Omega$'ya bağlı pozitif bir $C$ sayısı vardır.

Herhangi bir $R>0$ için, daha önce elde edilen eşitsizlikler ve Cauchy-Schwarz eşitsizliği kullanılarak

${\begin{aligned}\displaystyle \|{\widehat {v}}\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{2})}&=\int _{|\xi |<R}|{\widehat {v}}(\xi )|{\rm {d}}\xi +\int _{|\xi |>R}|{\widehat {v}}(\xi )|{\rm {d}}\xi \\&=\int _{|\xi |<R}(1+|\xi |)|{\widehat {v}}(\xi )|{\frac {1}{1+|\xi |}}{\rm {d}}\xi +\int _{|\xi |>R}(1+|\xi |^{2})|{\widehat {v}}(\xi )|{\frac {1}{1+|\xi |^{2}}}{\rm {d}}\xi \\&\leq C\left(\int _{|\xi |<R}{\frac {1}{(1+|\xi |)^{2}}}{\rm {d}}\xi \right)^{\frac {1}{2}}+C\|u\|_{H^{2}(\Omega )}\left(\int _{|\xi |>R}{\frac {1}{(1+|\xi |^{2})^{2}}}{\rm {d}}\xi \right)^{\frac {1}{2}}\end{aligned}}$

yazılır. İntegraller hesaplanarak,

$\|{\widehat {v}}\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{2})}\leq C(\log(1+R))^{\frac {1}{2}}+C{\frac {\|u\|_{H^{2}(\Omega )}}{1+R}}.$

eşitsizliği elde edilir.

$\|u\|_{H^{1}(\Omega )}=1$ durumunda, $R=\|u\|_{H^{2}(\Omega )}$ alınarak eşitsizlik elde edilmiş olur. Eşitszliğin genel hali için, sıfıra eşit olmayan $u\in H^{2}(\Omega )$ için, daha önce kanıtlanan eşitsizlik durumunda $u/\|u\|_{H^{1}(\Omega )}$ fonksiyonu kullanılır.

Ayrıca bakınız

• Ladıjenskaya eşitsizliği
• Agmon eşitsizliği