Agmon eşitsizliği

Matematiğin bir alt dalı olan analizde Agmon eşitsizliği Lebesgue uzayı $L^{\infty }$ ile Sobolev uzayı $H^{s}$ arasındaki iki ayrı aradeğerleme eşitsizliklerine verilen bir addır. Bu eşitsizlik, kısmi diferansiyel denklemlerde oldukça faydalıdır ve İsrailli matematikçi Shmuel Agmon'un adını taşımaktadır.

Eşitsizliğin ifadesi

$k\geq 2$ olmak üzere $\Omega \subset \mathbb {R} ^{k}$ açık bir küme ve $u\in H^{2}(\Omega )\cap H_{0}^{1}(\Omega )$ olsun.

• $k=2$ iken

$\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{1/2}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{1/2}$

eşitsizliğini sağlayan bir $C$ sabiti vardır.

• $k=3$ iken

$\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{1}(\Omega )}^{1/2}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{1/2},$

ve

$\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{L^{2}(\Omega )}^{1/4}\|u\|_{H^{2}(\Omega )}^{3/4}.$

eşitsizliklerini sağlayan bir $C$ sabiti vardır.

• $k\geq 4$ iken, $s_{1}$ ve $s_{2}$ $s_{1}<{\tfrac {n}{2}}<s_{2}$ eşitsizliğini sağlayacak şekilde seçilmiş olsun ve ${\tfrac {n}{2}}=\theta s_{1}+(1-\theta )s_{2}$ eşitliğini sağlamak üzere bir $\theta \in [0,1]$ sayısı alınsın. O halde,

$\displaystyle \|u\|_{L^{\infty }(\Omega )}\leq C\|u\|_{H^{s_{1}}(\Omega )}^{\theta }\|u\|_{H^{s_{2}}(\Omega )}^{1-\theta }$

eşitsizliğini sağlayan bir $C$ sabiti vardır.

Ayrıca bakınız

• Ladıjenskaya eşitsizliği
• Brezis-Gallouet eşitsizliği