Borell-Brascamp-Lieb eşitsizliği

Matematikte Borell-Brascamp-Lieb eşitsizliği bir integral eşitsizliğidir. Temelinde birçok matematikçi tarafından elde edilmiş olan bu eşitsizlik Christer Borell, Herm Jan Brascamp ve Elliott Lieb adlı matematikçilerin adını taşımaktadır.

Eşitsizliğin ifadesi

$0<\lambda <1$ ve $q\in [-\infty ,+\infty ]$ olmak üzere, $M_{q}:\mathbb {R} ^{\geq 0}\times \mathbb {R} ^{\geq 0}\times (0,1)\to \mathbb {R}$ fonksiyonu

• $q=0$ için

$M_{0}(a,b,\lambda )=a^{1-\lambda }b^{\lambda }$

• $q=-\infty$ için

$M_{-\infty }(a,b,\lambda )=\min(a,b)$

• $q=+\infty$ için

$M_{+\infty }(a,b,\lambda )=\max(a,b)$

• $q\neq -\infty ,0,+\infty$ için

${\begin{aligned}M_{q}(a,b,\lambda )={\begin{cases}\left((1-\lambda )a^{q}+\lambda b^{q}\right)^{1/q}&\;\quad \quad ab\neq 0{\text{ ise}}\\0&\;\quad \quad ab=0{\text{ ise}}\end{cases}}\end{aligned}}$

olarak tanımlansın. İntegrallenebilir olan $f,g,h:\mathbb {R} ^{n}\to [0,+\infty )$ fonksiyonları her $x,y\in \mathbb {R} ^{n}$ için

$h\left((1-\lambda )x+\lambda y\right)\geq M_{p}\left(f(x),g(y),\lambda \right)$

eşitsizliğini sağlıyorsa, o zaman

${\begin{aligned}\alpha _{n,p}={\begin{cases}{\frac {p}{np+1}}&p\neq \pm {\frac {1}{n}}{\text{ ve }}p\in [{\frac {-1}{n}},+\infty ]\\+\infty &p={\frac {1}{n}}\\-\infty &p={\frac {-1}{n}}\\\end{cases}}\end{aligned}}$

olmak üzere

$\int _{\mathbb {R} ^{n}}h(x)\,\mathrm {d} x\geq M_{\alpha _{n,p}}\left(\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x)\,\mathrm {d} x,\int _{\mathbb {R} ^{n}}g(x)\,\mathrm {d} x,\lambda \right)$

eşitsizliği vardır.

Eşitsizlik, Henstock ve Macbeath tarafından 1953'te $p>0$ durumu için kanıtlanmıştır. $p=0$ durumu ise Prékopa-Leindler eşitsizliği olarak bilinmektedir. Eşitsiliğin burada ifade edilen daha genel hali Borell tarafından 1975 yılından, Brascamp ve Lieb tarafından 1976 yılında tekrar elde edilmiştir. Borell-Brascamp-Lieb eşitsizliği adı yine aynı eşitsizliği 2001 yılında Riemann manifoldlarına genelleştiren Cordero-Erausquin, McCann ve Schmuckenschläger tarafından verilmiştir.