Bessel eşitsizliği

Matematikte, özellikle matematiğin bir alt dalı olan fonksiyonel analizde, Bessel eşitsizliği bir Hilbert uzayında yer alan bir elemanın normuyla bu elemanın aynı uzayda bulunan bir birim dikgen diziye göre alınan katsayılarının arasında ilişki gösteren bir eşitsizliktir. Eşitsizlik Friedrich Bessel tarafından 1828 yılında elde edilmiştir.

Eşitsizliğin ifadesi

$(H,\langle \cdot ,\cdot \rangle )$ bir Hilbert uzayı, $e_{1},e_{2},...$ ise bu uzayda yer alan birim dikgen bir dizi olsun. O zaman, her $x\in H$ için

$\sum _{k=1}^{\infty }\left\vert \left\langle x,e_{k}\right\rangle \right\vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2},$

eşitsizliği sağlanır.

Bessel eşitsizliğin önemli sonuçlarından birisi

$\sum _{k=1}^{\infty }\left\langle x,e_{k}\right\rangle e_{k},$

biçiminde tanımlanan bir toplamın yakınsak olmasıdır.

İspat

Herhangi pozitif bir $n$ tam sayısı için

${\begin{aligned}\left\Vert x-\sum _{k=1}^{n}\left\langle x,e_{k}\right\rangle e_{k}\right\Vert ^{2}&=\left\langle x-\sum _{k=1}^{n}\left\langle x,e_{k}\right\rangle e_{k},x-\sum _{k=1}^{n}\left\langle x,e_{k}\right\rangle e_{k}\right\rangle \\&=\left\Vert x\right\Vert ^{2}-\sum _{k=1}^{n}{\overline {\left\langle x,e_{k}\right\rangle }}\langle x,e_{k}\rangle -\sum _{k=1}^{n}\left\langle x,e_{k}\right\rangle \langle e_{k},x\rangle +\left\Vert \sum _{k=1}^{n}\left\langle x,e_{k}\right\rangle e_{k}\right\Vert ^{2}\\&=\left\Vert x\right\Vert ^{2}-\sum _{k=1}^{n}\sum _{l=1}^{n}\langle x,e_{k}\rangle {\overline {\langle x,e_{l}\rangle }}\langle e_{k},e_{l}\rangle \\&=\left\Vert x\right\Vert ^{2}-\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}\end{aligned}}$

olur. Bu yüzden,

$\sum _{k=1}^{n}|\langle x,e_{k}\rangle |^{2}=\left\Vert x\right\Vert ^{2}-\left\Vert x-\sum _{k=1}^{n}\left\langle x,e_{k}\right\rangle e_{k}\right\Vert ^{2}\leq \left\Vert x\right\Vert ^{2}$

olur. Sonuç olarak, kısmi toplamlar dizisi artan bir dizidir ve üstten sınırlıdır. Böylelikle, sonsuz toplam yakınsak olur ve eşitsizlik elde edilir.

Ayrıca bakınız

• Cauchy-Schwarz eşitsizliği
• Parseval teoremi

Dış bağlantılar

• Hazewinkel, Michiel, (Ed.) (2001), "Bessel inequality", Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104 
• Bessel's Inequality the article on Bessel's Inequality on MathWorld.