İdeal (halka teorisi)
Matematikte ve daha spesifik olarak halka teorisinde, bir halkanın ideali, elemanlarının özel bir alt kümesidir . İdealler, tam sayıların belirli alt kümelerini, örneğin çift sayıları veya 3'ün katlarını genelleştirir. Çift sayıların toplanması ve çıkarılması eşitliği korur ve çift bir sayının herhangi bir tam sayıyla (çift veya tek) çarpılması çift sayı ile sonuçlanır; bu kapanma ve soğurma özellikleri bir idealin tanımlayıcı özellikleridir. Bir ideal, grup teorisinde normal bir alt grubun bir bölüm grubu oluşturmak için kullanılabilmesine benzer şekilde bir bölüm halkası oluşturmak için kullanılabilir.
Tanım(lar)
[değiştir | kaynağı değiştir]Verilen bir R halkası için sol ideal, toplamsal halkasının alt grubu olan ve şu koşulu sağlayan bir gruptur:Her ve her için[1]
olur.[1]
Benzer şekilde sağ ideal , koşulunun ile değiştirilmesi ile tanımlanır. İki taraflı ideal ise aynı zamanda sağ ideal olan bir sol idealdir.Halka değişmeli ise, sol, sağ ve iki taraflı ideal tanımları örtüşür ve basitçe bir idealden bahsedilir. Değişmeli olmayan durumda ise genellikle "iki taraflı ideal" yerine "ideal" kullanılır.
İdeal I bir Abelyen alt grubu olduğundan, ile için ile tanımlanan bağıntı R üzerinde bir eşdeğerlik bağıntısıdır ve bunun eşdeğerlik sınıfları kümesi ile gösterilen bir Abel grubudur. [1] Eğer I bir sol veya sağ ideal ise, bölümü sırasıyla sol veya sağ -modülüdür.Eğer ideal I iki taraflıysa,
bölümü bir halkadır, [1] ve R'deki her bir elemanı kendi kalan grubuna gönderen fonksiyonu, çekirdeği bir ideal olan bir surjektif halka homomorfizmidir . [1]
Bazı örnekler
[değiştir | kaynağı değiştir]- Her için halkası, halkasının bir idealidir.
- için bir idealdir.
- için bir idealdir.Ek olarak,bunun bölüm halkası ,karmaşık sayılar halkası ile izomorfiktir:
![{\displaystyle R=\mathbb {R} [x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/340a3d13589d3594e8b215511192fa482fb79d00)
![{\displaystyle I=\{xf(x):f(x)\in \mathbb {R} [x]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14203747173dc46db39b37ec21011e4cf7130336)
![{\displaystyle I=\{(x^{2}+1)f(x):f(x)\in \mathbb {R} [x]\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66fb801465df1900e09149802e9187d7cec60068)
![{\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d0ade67281f83ef6b6b7f43bf783c081adb1fc3)
![{\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)\cong \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae55200b5132f52cd1dd90f60038864b569318ee)
