İşlem

Temel aritmetik işlemleri:

• +, artı (toplama)
• −, eksi (çıkarma)
• ÷, obelus (bölme)
• ×, çarpı (çarpma)

Matematikte, bir işlem, bir kümeden kendisine tanımlı bir fonksiyondur. Örneğin, reel sayılar üzerindeki bir işlem, reel sayıları alacak ve bir reel sayı döndürecektir. Bir işlem, sıfır veya daha fazla girdi değerini (bunlara "işlenen" (operand) veya "argüman" da denir) iyi tanımlanmış bir çıktı değerine götürür. İşlenenlerin sayısı işlemin aritesidir.

En çok çalışılan işlemler, toplama ve çarpma gibi ikili işlemler (yani aritesi 2 olan işlemler) ve toplamsal ters ile çarpımsal ters gibi tekli işlemlerdir (yani aritesi 1 olan işlemler). Aritesi sıfır olan bir işleme veya sıfırlı işleme, sabit denir. Karma çarpım, üçlü işlem olarak da adlandırılan, aritesi 3 olan bir işlem örneğidir.

Dört klasik işlem toplama, çıkarma, çarpma ve bölmedir. Bu işlemler aritmetiğin temelini oluşturur ve çeşitli alanlarda hesaplamalar yapmak ve problemleri çözmek için gereklidir.

Genellikle aritenin sonlu olduğu varsayılır. Ancak bazen sonsuz işlemler (infinitary operations) de dikkate alınır; bu durumda sonlu ariteye sahip "olağan" işlemlere sonlu işlemler (finitary operations) denir. Bir kısmi işlem, işlemle benzer şekilde tanımlanır ancak fonksiyon yerine bir kısmi fonksiyon söz konusudur.

İşlem türleri

Bir ikili işlem iki argüman $x$ ve $y$ alır ve $x\circ y$ sonucunu döndürür.

İki yaygın işlem türü vardır: tekli (unary) ve ikili (binary). Tekli işlemler, negasyon ve trigonometrik fonksiyonlar gibi yalnızca bir değer içerir. İkili işlemler ise iki değer alır ve toplama, çıkarma, çarpma, bölme ve üs almayı içerir.

İşlemler sayılar dışındaki matematiksel nesneleri de içerebilir. Mantıksal değerler olan doğru ve yanlış, ve, veya ve değil gibi mantık işlemleri kullanılarak birleştirilebilir. Vektörler toplanabilir ve çıkarılabilir. Dönmeler, önce birinci döndürmeyi sonra ikinciyi uygulayan fonksiyon bileşkesi işlemi kullanılarak birleştirilebilir. Kümeler üzerindeki işlemler arasında birleşim ve kesişim gibi ikili işlemler ve tümleme gibi tekli işlemler yer alır. Fonksiyonlar üzerindeki işlemler ise bileşke ve evrişimi içerir.

İşlemler, tanım kümesindeki her olası değer için tanımlanmayabilir. Örneğin, reel sayılarda sıfıra bölme yapılamaz veya negatif sayıların karekökü alınamaz. Bir işlemin tanımlı olduğu değerler, tanım bölgesi veya aktif tanım kümesi adı verilen bir küme oluşturur. Üretilen değerleri içeren kümeye değer kümesi denir; ancak işlem tarafından ulaşılan gerçek değerlerin kümesi, işlemin tanım değer kümesi, aktif değer kümesi, görüntüsü veya erimidir. Örneğin, reel sayılarda kare alma işlemi yalnızca negatif olmayan sayılar üretir; değer kümesi reel sayılar kümesidir ancak görüntü kümesi negatif olmayan sayılardır.

İşlemler farklı türden nesneleri içerebilir: bir vektör bir skaler ile çarpılarak başka bir vektör oluşturulabilir (skaler çarpma olarak bilinen bir işlem), ve iki vektör üzerindeki iç çarpım işlemi skaler bir nicelik üretir. Bir işlemin belirli özellikleri olabilir veya olmayabilir; örneğin birleşmeli, değişmeli, zıt sıra değişimli (anticommutative), eşgüçlü (idempotent) ve benzeri olabilir.

Birleştirilen değerlere işlenenler, argümanlar veya girdiler; üretilen değere ise değer, sonuç veya çıktı denir. İşlemler ikiden az veya çok girdiye sahip olabilir (sıfır girdi ve sonsuz sayıda girdi durumu dahil).

Bir operatör, işlemi göstermek için kullanılan sembolü veya süreci ifade etmesi bakımından işleme benzer. Dolayısıyla bakış açıları farklıdır. Örneğin, işlenenlere ve sonuca odaklanıldığında genellikle "toplama işlemi"nden söz edilir, ancak sürece veya daha sembolik bir bakış açısına odaklanıldığında "toplama operatörü"ne (nadiren "toplama işlemi operatörü") geçiş yapılır; bu durumda fonksiyon +: X × X → X şeklindedir (burada X, reel sayılar kümesi gibi bir kümedir).

İşlemleri göstermekte kullanılan artı ($+$), eksi ($-$), çarpı ($\times$), bölü ($\div$) gibi sembollere işleç adı verilir.

Tanım

Bir küme X üzerinde bir n-li işlem ω, ω: Xⁿ → X şeklinde bir fonksiyondur. Xⁿ kümesine işlemin tanım kümesi, çıktı kümesine işlemin değer kümesi ve sabit negatif olmayan n tamsayısına işlemin aritesi denir. Bu nedenle bir tekli işlem bir ariteye, bir ikili işlem ise iki ariteye sahiptir. Sıfır ariteli bir işleme sıfırlı işlem denir ve bu sadece değer kümesi Y nin bir elemanıdır. Bir n-li işlem, n girdi alanı üzerinde tam ve çıktı alanı üzerinde tekil olan bir (n + 1)-li bağıntı olarak da görülebilir.

Xⁿ'den X'e bir n-li kısmi işlem ω, ω: Xⁿ → X şeklinde bir kısmi fonksiyondur. Bir n-li kısmi işlem, çıktı alanı üzerinde tekil olan bir (n + 1)-li bağıntı olarak da görülebilir.

Yukarıdakiler, sonlu sayıdaki işlenenlere (n değeri) atıfta bulunarak genellikle sonlu işlem olarak adlandırılan şeyi tanımlar. Aritenin sonsuz bir ordinal veya kardinal, hatta işlenenleri indeksleyen keyfi bir küme olarak alındığı bariz genişletmeler mevcuttur.

Çoğunlukla, işlem teriminin kullanımı, fonksiyonun tanım kümesinin değer kümesinin bir kuvvetini (yani değer kümesinin bir veya daha fazla kopyasının Kartezyen çarpımını) içerdiğini ima eder, ancak vektörlerin çarpılıp bir skalerle sonuçlandığı nokta çarpım durumunda olduğu gibi bu hiçbir şekilde evrensel değildir. Bir n-li işlem ω: Xⁿ → X, iç işlem olarak adlandırılır. Bir n-li işlem ω: Xⁱ × S × X^{n − i − 1} → X (burada 0 ≤ i < n), skaler kümesi veya operatör kümesi S tarafından bir dış işlem olarak adlandırılır. Özellikle bir ikili işlem için, ω: S × X → X, S tarafından bir soldan-dış işlem ve ω: X × S → X, S tarafından bir sağdan-dış işlem olarak adlandırılır. Bir iç işlem örneği, iki vektörün toplanıp bir vektörle sonuçlandığı vektör toplamadır. Bir dış işlem örneği ise, bir vektörün bir skaler ile çarpılıp bir vektörle sonuçlandığı skaler çarpmadır.

Bir n-li çoklu fonksiyon veya çoklu işlem ω, bir kümenin Kartezyen kuvvetinden o kümenin alt kümelerinin kümesine yapılan bir eşlemedir; biçimsel olarak $\omega :X^{n}\rightarrow {\mathcal {P}}(X)$.

Ayrıca bakınız

• Cebir
• Hiperişlem
• İşlem sırası

Özel durumları

• İkili işlem

İlgili konular

• Tanım kümesi
• Fonksiyon
• Bağıntı
• Aritmetik
• Değişken
• Mantık bağlacı