Zorn lemması

Zorn lemması veya Kuratowski-Zorn lemması, seçme aksiyomuna eşdeğer bir önerme olup şunu ifade eder: Kısmî sıralanmış bir kümedeki her zincir için zincirin her elemanından daha büyük bir eleman kümede olsun. Bu durumda kümede maksimum bir eleman vardır.

Örnekler

Triviyal olmayan her halka içinde maksimal bir ideal barındırır

$R$ , triviyal olmayan bir halka ve $P$ ise $R$ 'deki tüm gerçek idealleri barındıran küme olsun. O halde $R$ 'de maksimum bir ideal bulmak ile $P$ 'de maksimum bir eleman bulmak eşdeğerdir. Ek olarak $R$ triviyal olmadığı için $(0)$ $\in P$ ve $P$ set dahiliyetini kullanarak kısmi olarak sıralanabilir.

Zorn önsavını uygulamak için $P$ 'nin içinde bir zincir olarak $T$ tanımlansın. Eğer $T$ boş bir zincir ise, O halde $(0)$ ideali $T$ 'nin elemanları için maksimum bir idealdir. $T$ boş değil ise Zorn önsavına göre $T$ 'nin bir üst limiti olduğu gösterilmedilir. Yani öyle bir gerçek ideal $I\subseteq R$ olmalı ki, $T$ 'nin bütün elemanları $I$ 'nin içinde olsun ama $I\neq R$ .

Buna göre $I$ , $T$ 'deki bütün ideallerin birleşimi olsun. $I$ 'nin bir idealin şartlarını karşıladığını gösterilmeli. Yani:

$I\neq \emptyset$
Her $a,b\in I$ için $a+b\in I$
Her $a\in I,r\in R$ için $ra\in I$

$T$ 'nin boş olmadığı varsayıldığı için $(0)\in T$ ve $I$ ; $T$ 'deki bütün ideallerin birleşiminden oluştuğu için boş değildir.

$I$ , $T$ 'deki bütün ideallerin birleşiminden oluştuğu için $a,b\in I$ için öyle iki ideal $J,K$ vardır ki $a\in J,b\in K.$ Fakat $T$ bir zincir olup tam sıralı olduğundan ötürü ya $J\subseteq K$ veya $K\subseteq J$ geçerlidir. Birinci senaryoda $a,b\in K$ varsayılabilir ancak $K$ halihazırda bir ideal olmasından ötürü tanımı gereği $a+b\in K\subseteq I.$ İkinci senaryoda ise aynı argüman $J$ için kullanılabilir.

$a\in I$ ise öyle bir ideal $J\subseteq I$ vardır ki $a\in J$ . $J$ bir ideal olmasından ötürü yapısı gereği her $r\in R$ için $ra\in J\subseteq I$ sağlanmaktadır.

Son olarak $I$ 'nin gerçek bir ideal olduğu teyit edilmeli. $I$ , gerçek bir ideal değil ise $I=R$ ve 3. şarttan ötürü $1\in I$ . Ancak $1\in I$ doğru ise $T$ 'nin içinde öyle bir ideal $J$ vardır ki $1\in J$ yani $J=R$ . Fakat $P$ 'nin tanımında $R$ idealı kümenin dışında tutulmuştur ve bu sebepten $T$ zincirinin de bir parçası olamaz. Dolayısıyla $I\neq R$ .

Zorn Lemmasının şartlarının sağlanmasından ötürü $P$ 'de maksimum bir eleman olduğu çıkarılabilir. Başka bir deyişle $R$ 'de maksimal bir ideal vardır.