Telgrafçı denklemleri

İletim hattının devre modeli. Telegrafçı denklemleri bu model kullanılarak türetilmektedir.

Telgrafçı denklemleri, bir iletim hattındaki gerilim ve akım davranışını betimleyen iki eşlenmiş kısmi diferansiyel denklemdir. İletim hatlarının devre analizi yöntemleri ile incelenmesine olanak sağlayan bu denklemler, 0 Hz (doğru akım) ile iletim hattının TEM-dışı dalgaları taşıyabildiği frekans aralıkları arasında geçerlidir.

Gerilim ve akım işaretlerinin dalga özelliklerini gösteren bu denklemler, 1876 yılında Oliver Heaviside tarafından 1876 yılında türetilmiştir. Denklemler her ne kadar ilk olarak telegraf hatlarındaki gerilim ve akım işaretlerinin iletimini betimlemek için türetilmiş olsalar da, düşük frekans elektrik iletim hatları, radyo frekans iletkenler ve telefon hatları benzeri birçok yapının modellenmesine kullanılmaktadır. Denklemler aynı zamanda modifikasyon ile negatif indisli metamalzemelerin modellenmesinde de kullanılabilmektedir.

Denklem

Bir iletim hattındaki elektromanyetik dalga iletimi.

Telegrafçı denklemleri, gerilim ${\textstyle (V)}$ ve akım ${\textstyle (I)}$ için aşağıdaki şekilde ifade edilebilir: $${\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x}}V(x,t)&=-L\,{\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)-RI(x,t)\\[1ex]{\frac {\partial }{\partial x}}I(x,t)&=-C\,{\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)-GV(x,t)\end{aligned}}$$

Bu denklemlerdeki devre elemanları aşağıdaki şekilde tanımlanabilir:

• ${\textstyle L}$: Hattı oluşturan iki iletkenin arasındaki seri öz indüktansı temsil eder.
• ${\textstyle C}$: Hattı oluşturan iki iletkenin yakınlığı sonucu oluşan paralel kapasitansı ifade eder.
• ${\textstyle R}$: Hattı oluşturan iletkenlerin direnci sonucu oluşan kaybı bir seri direnç olarak temsil eder.
• ${\textstyle G}$: Hattaki iletkenler arasında bulunan dielektrik malzemenin kaybını betimler ve paralel bir iletkenlik elemanı olarak modellenir.

Telegrafçı denklemleri, sadece ${\textstyle V}$ veya ${\textstyle I}$ değişkenleri için aşağıdaki iki eşdeğer formülasyon ile ifade edilebilir: $${\begin{aligned}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}V(x,t)-LC\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}V(x,t)&=\left(RC+GL\right){\frac {\partial }{\partial t}}V(x,t)+GR\,V(x,t)\\[1ex]{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}I(x,t)-LC\,{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}I(x,t)&=\left(RC+GL\right){\frac {\partial }{\partial t}}I(x,t)+GR\,I(x,t)\end{aligned}}$$

Fazör formülasyonu ve duran ortam koşulları altında denklemler frekansa bağlı adi diferansiyel denklemler şeklinde ifade edilebilir: $${\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}V(x)&=-\left(j\omega L+R_{\omega }\right)I(x),\\[1ex]{\frac {d}{dx}}I(x)&=-\left(j\omega C+G_{\omega }\right)V(x).\end{aligned}}$$

Kayıplı bir iletim hattı için telegrafçı denklemleri sönümlenme ve dağılma etkilerine sahiptir. Bu animasyonda kayıplı bir iletim hatlarında telegrafçı denklemleri için elde edilen dalga iletimi sonucu kayıpsız dalga denkleminden elde edilen sonuç ile karşılaştırılmıştır.

Bu denklemler, kısmi diferansiyel denklemdekine benzer bir şekilde ${\textstyle V}$ ve ${\textstyle I}$ için iki ayrı bağımsız denkleme dönüştürülebilir: $${\begin{aligned}{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}V(x)&=\gamma ^{2}V(x),\\[1ex]{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}I(x)&=\gamma ^{2}I(x)\end{aligned}}$$

Bu formülde ${\textstyle \gamma }$, iletim katsayısını ifade etmektedir: $$\gamma \equiv \alpha +j\beta \equiv {\sqrt {\left(R_{\omega }+j\omega L_{\omega }\right)\left(G_{\omega }+j\omega C_{\omega }\right)}}$$

${\textstyle \alpha }$ ile ${\textstyle \beta }$ ise soğurma ve faz sabitleri olarak tanımlanabilir. Hattın karakteristik empedansı (${\textstyle Z_{c}}$) ise $$Z_{c}={\sqrt {\frac {R+j\omega L}{G+j\omega C}}}$$ formülü ile tanımlanabilir.

Kayıpsız iletim hatlarında ${\textstyle (R=G=0)}$ telgrafçı denklemleri dağılmasız dalga denklemlerine indirgenebilir. Ancak kayıplı durumlarda, denklem çözümünde hem sönümleme hem de dağılma etkileri ortaya çıkar. Bu durumda herhangi bir distorsiyon olmadan işaret iletimi ise hatta ${\textstyle RC=GL}$ koşulunun sağlanması ile gerçekleştirilebilir.

Ayrıca bakınız

• RLC devresi
• Smith abağı