Stokastik şimdiki değer çarpanı

Stokastik şimdiki değer çarpanı ya da stokastik iskonto faktörü finansal ekonomi ve finansal matematikte kullanılan bir kavramdır. Söz konusu terim, bir varlığın bugünkü fiyatının hesaplanabilmesi için gelecekte varlığa ilişkin olacak olan nakit akışlarının ya da ödenişlerin iskonto edildikten sonra beklenen değerinin alınmasını kullanan varlık fiyatlama yöntemlerinden kaynaklanmaktadır. Bu yöntem varlık fiyatlama kuramında temel bir öneme sahiptir.

Stokastik şimdiki değer çarpanına bazen fiyatlama çekirdeği de denir. Bunun sebebi, yukarıda bahsedilen beklenen değerin genelde bir integral olarak yazılması ve stokastik şimdiki değer çarpanının bu integral içinde bir integral dönüşümünün çekirdeği görevi yüklenmesidir. Stokastik şimdiki değer çarpanına ikamenin marjinal oranı, ölçü değişimi, durum-fiyat deflatörü veya durum-fiyat yoğunluğu da denilir.

Tanımı

Başlangıç değerleri $p_{1},\ldots ,p_{n}$ olan $n$ tane varlığın bir vadenin sonundaki (rassal) ödenişlerinin ${\tilde {x}}_{1},\ldots ,{\tilde {x}}_{n}$ olduğu verilmiş olsun. O zaman,

$E({\tilde {m}}{\tilde {x}}_{i})=p_{i},\quad \forall i=1,\ldots ,n.$

özelliğini sağlayan ${\tilde {m}}$ rassal değişkenine stokastik şimdiki değer çarpanı ya da stokastik iskonto faktörü denir.

Özellikler

Stokastik şimdiki değer çarpanının varlığı tek fiyat kanununa eşdeğerdir. Benzer bir şekilde, pozitif bir stokastik şimdiki değer çarpanının varlığı, varlık fiyatlamanın temel teoremi sayesinde, arbitraj fırsatlarının yokluğuna da denktir. Bu durumda, eğer $p_{1},\ldots ,p_{n}$ değerlerinin her biri pozitifse, ${\tilde {R}}_{i}={\tilde {x}}_{i}/p_{i}$ getirileri tanımlanabilir ve bu getiriler üzerinden tanım yeniden verilebilir:

$E({\tilde {m}}{\tilde {R}}_{i})=1,\quad \forall i=1,\ldots ,n.$

O zaman, bu tanımdan hareket ederek,

$E\left[{\tilde {m}}({\tilde {R}}_{i}-{\tilde {R}}_{j})\right]=0,\quad \forall i,j=1,\ldots ,n$

yazılabilir. Yâni, stokastik şimdiki değer çarpanı bir portföy üzerinden

$E({\tilde {m}}{\tilde {x}})=p,\quad E({\tilde {m}}{\tilde {R}})=1$

olarak tanımlanabilir. İki rassal değişkenin kovaryansının bu rassala değişkenlerin çarpımlarının beklenen değerinden beklenen değerlerinin çarpımından çıkarılmasıyla elde edileceği gerçeğinden yola çıkılarak

$1=\operatorname {cov} ({\tilde {m}},{\tilde {R}})+E({\tilde {m}})E({\tilde {R}})$

elde edilir. Eğer risksiz bir varlık varsa ve bu varlığın getirisi ${\tilde {R}}=R_{f}$ ile gösterilirse, o zaman, $E({\tilde {m}})=1/R_{f}$ olur. Yukarıdaki ifâdede, son elde edileni kullanarak ve yeniden düzenleyerek, bir varlığın ya da portföyün ${\tilde {R}}$ getirisine göre risk primi

$E({\tilde {R}})-R_{f}=-R_{f}\operatorname {cov} ({\tilde {m}},{\tilde {R}})$

olarak elde edilir. Demek ki, risk primleri herhangi bit stokastik şimdiki çarpanla olan kovaryanslar aracılığıyla belirlenmektedir.

Ayrıca bakınız

Hansen-Jagannathan sınırı