Sonsuz indirgeme teoremi

Sonsuz indirgeme teoremi, matematikte diophant denklemlerinin çözümünde ve çelişki yoluyla yapılan ispatlarda sık sık kullanılan bir tekniktir.

Teorem

Sonsuz indirgeme teoremi: Pozitif tam sayılarda tanımlı sonsuz uzunlukta sürekli azalan bir dizi yoktur.

İspat: $a_{1}=k$ olsun.Dizi sürekli azalan olduğu için $a_{n+1}+1\leq a_{n}$ ve bu yüzden $a_{k+1}+k\leq a_{k}+(k-1)\leq a_{k-1}+(k-2)\leq \cdots \leq a_{2}+1\leq a_{1}=k$ yani $a_{k+1}\leq 0$ olmalıdır ki bu da kesinlikle imkansızdır.

Kullanımı

Diophant Denklemleri

Soru: a, b, c pozitif tamsayı ve p asal sayı olmak üzere $a^{3}+pb^{3}=p^{2}c^{3}$ denkleminin çözümü olamaz.

İspat: $a^{3}=p(pc^{3}-b^{3})$ olduğu için $a=pa_{0}$ ve bu yüzden $p^{2}a_{0}^{3}+b^{3}=pc^{3}$ ve bu yüzden $b=pb_{0}$ ve bu yüzden $pa_{0}^{3}+p^{2}b_{0}^{3}=c^{3}$ ve bu yüzden $c=pc_{0}$ ve bu yüzden $a_{0}^{3}+pb_{0}^{3}=p^{2}c_{0}^{3}$ olur. O halde (a, b, c) bir çözüm ise (a/p, b/p, c/p) de bir çözümdür. Burada (a, b, c) pozitif tam sayı olmak üzere bu sayılar hep azaltılabilir ki bu da teorem ile çelişir.