Sondaki sıfır

Sondaki sıfır, konumsal gösterimde bir sayı dizgesinde son sıfır olmayan rakamdan sonra gelen herhangi bir 0 rakamıdır. Ondalık noktasından önceki rakamlar için, ondalık nokta ile son sıfır olmayan rakam arasındaki sondaki sıfırlar bir sayının büyüklüğünü iletmek için gereklidir ve atılamaz (örn. 100); buna karşılık, baştaki sıfırlar – ondalık noktadan önce ve ilk sıfır olmayan rakamdan önce bulunan sıfırlar – anlamı değiştirmeden atılabilir (örn. 001). Ondalık noktasından sonra son sıfır olmayan rakamın sağında görünen herhangi bir sıfır değeri etkilemez (örn. 0.100). Bu nedenle, ondalık gösterim çoğu zaman ondalık noktadan sonra gelen sondaki sıfırları kullanmaz. Ancak, ondalık noktadan sonra gelen sondaki sıfırlar, örneğin bir ölçümde, anlamlı basamak sayısını belirtmek için kullanılabilir ve bu bağlamda, sondaki sıfırları kaldırarak bir sayıyı "basitleştirmek" yanlış olur.

Sıfır olmayan taban-b bir tam sayı n için sondaki sıfırların sayısı, n'yi bölen b'nin en büyük kuvvetinin üssüne eşittir. Örneğin, 14000 sayısının üç sondaki sıfırı vardır ve dolayısıyla 1000 = 10³'e bölünebilir, ancak 10⁴'e bölünemez. Bu özellik, çarpanlara ayırmada küçük çarpanlar aranırken kullanışlıdır. Bazı bilgisayar mimarileri, bir makine sözcüğündeki sondaki sıfır bitlerinin sayısını verimli biçimde belirlemek için komut kümesinde bir sondaki sıfırları sayma işlemi bulundurur.

Faktöriyel

n!'in, yani negatif olmayan bir tam sayı n'nin faktöriyelinin ondalık gösterimindeki sondaki sıfırların sayısı, basitçe n! içindeki asal çarpan 5'in sayısı kadardır. Bu, de Polignac formülünün şu özel durumu ile belirlenebilir:

$f(n)=\sum _{i=1}^{k}\left\lfloor {\frac {n}{5^{i}}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{5}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{5^{3}}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {n}{5^{k}}}\right\rfloor ,\,$

burada k öyle seçilmelidir ki

$5^{k+1}>n,\,$

daha kesin olarak

$5^{k}\leq n<5^{k+1},$

$k=\left\lfloor \log _{5}n\right\rfloor ,$

ve $\lfloor a\rfloor$, a'ya uygulanan taban fonksiyonunu gösterir. n = 0, 1, 2, ... için bu

0, 0, 0, 0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 4, 6, ... (OEIS'de A027868 dizisi).

Örneğin, 5³ > 32'dir ve dolayısıyla 32! = 263130836933693530167218012160000000 şu kadarla biter:

$\left\lfloor {\frac {32}{5}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {32}{5^{2}}}\right\rfloor =6+1=7\,$

adet sıfır. Eğer n < 5 ise, eşitsizlik k = 0 ile sağlanır; bu durumda toplam boştur ve yanıt 0 olur.

Formül aslında n! içindeki çarpan 5 sayısını sayar; ancak en az bu kadar çarpan 2 bulunduğundan, bu her biri bir tane daha sondaki sıfırı veren 10 çarpanlarının sayısına eşdeğerdir.

Şunu tanımlayarak

$q_{i}=\left\lfloor {\frac {n}{5^{i}}}\right\rfloor ,\,$

aşağıdaki özyineleme bağıntısı geçerlidir:

${\begin{aligned}q_{0}\,\,\,\,\,&=\,\,\,n,\quad \\q_{i+1}&=\left\lfloor {\frac {q_{i}}{5}}\right\rfloor .\,\end{aligned}}$

Bu, toplamın terimlerinin hesabını basitleştirmek için kullanılabilir; q _i sıfıra ulaşır ulaşmaz durdurulabilir. 5^k+1 > n koşulu, q _k+1 = 0 ile eşdeğerdir.

Dış bağlantılar

• Why are trailing fractional zeros important? sondaki sıfırların anlamlı olduğu bazı örnekler için.
• Herhangi bir faktöriyel için sondaki sıfır sayısı herhangi bir faktöriyel için sondaki sıfır sayısını hesaplayan bir Python programı. 22 Şubat 2017 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.