Sürüklenim Denklemi

Akışkanlar dinamiğinde, bir sıvı tarafından çevrelenmiş ve hareket halinde olan bir cisim tarafından hissedilen sürüklenim kuvvetini bulmak için sürüklenim denklemi kullanılır. Bu formül belli koşullar altında daha tutarlı sonuçlar verir:

•Cismin körelmiş bir formu olması gerekir

•Sıvının, cismin arkasında türbülans oluşturabilecek büyüklükte bir Reynold sayısına sahip olması gerekir. Bu denklem:

$F_{D}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,v^{2}\,C_{D}\,A$

ile ifade edilir.

Fd = Akış hızının bileşeni olan çekim kuvveti

p = Sıvının özkütlesi

v = Sıvıya göre cismin hızı

A = Sistemin alanı

Cd = Sürüklenim katsayısı (cismin geometrik yapısına ve kayma kuvvetine bağlı olarak değişim gösterir)

Bu denklem Lord Rayleigh'e atıf edilmiştir çünkü A yerine L2 kullan kişidir.

A nın anlamı, bir cismin hareket yönüne dik olan bir düzlemdeki izdüşüm alanıdır. İçi boş olmayan basit cisimlerde (küre) bu tanım kesitsel alana eşittir. Başka cisimlerde (boru, bisikletçi) A, hareket yönüne dik olan herhangi bir düzlemin kesitsel alanından daha büyük çıkabilir.

Kanata profillerinde genellikle kanat genişliğinin karesi sistem alanı olarak kullanılır. Kanat profillerinin kanat genişlikleri genellikle 1 uzunluk birimi olarak kabul edilir ve sistem alanıda 1dir. Uçaklar kanat alanlarını, sistem alanı olarak kullanırlar bu da kaldırma kuvveti için basit bir kıyaslama sağlar.

Zeplinlerde ve dairesel hareket yapan cisimlerde sürüklenimin hacimsel sabiti kullanılır. Sistem alanı, zeplinin hacminin karesinin küp köküne eşit olur.

Bazen bir cisim için farklı sistem alanları verilebilir, bu durumlarda sürüklenim sabitinin eşit olduğu alanlar belirtilmelidir.

Sivri köşeli cisimler (kare silindirler) akış yönüne karşı sürüklenim gösterirler. Formülün bu durumlarda kullanılabilmesi için Reynold sayısının yaklaşık 1000 birimden fazla olması gerekirken sürüklenim sabitinin sabit bir değerde olması gerekir.

Düz cisimler için (yuvarlak silindir), Reynold sayısı on milyona yakın bir değer aldığı zaman direnç sabiti büyük oranda değişim gösterebilir.

Tartışma

Bu formül, bir sıvının sistem alanına çarpıp, yayılıp, durmasının ve durgunluk basıncı uygulaması durumu için kullanılır. Doğada hiçbir cisim bu durumu tamamen gerçekleştiremez. Cd, herhangi düzgün bir cismin sürüklenim miktarıdır. Pratikte, kaba bir cismin Cd miktarı 1 veya altında bir sayı olur. Pürüzsüz cisimlerin çok daha küçük Cd değerleri olabilir. Bu denklem tutarlı bir şekilde Cd değerini bulabilir ki bu değer Reynolds sayısına göre değişiklik gösterir (deneysel hesaplamalar ile).

Değinilmesi gereken bir diğer konuda sıvı sürükleniminin hızın karesi ile orantılı olarak artmasıdır. Hız iki katına çıkarıldığı zaman çarpan sıvı miktarı iki kat hızlı ve saniyede iki kat daha fazla kütle çarpar. Bu sebeple momentumdaki değişim dört kattır. Kuvvet, momentumun belirli bir zamandaki değişimine eşittir ancak katı-katı sürtünmeleriyle (hıza daha az bağımlıdır) çelişkiye düşer.

Denklemlerin Türetilmesi

Sürüklenim denklemleri çarpım sabiti ve boyutsal analizle türetilebilir. Hareket halindeki bir sıvı, bir cisimle karşılaştığı zaman cisme bir kuvvet uygular. Bu durumdaki bazı değişkenler şunlardır:

• Hız (u)

• Sıvı özkütlesi p

• Sıvının akışkanlığı v

• Cismin ön alanı A

• Sürüklenim kuvveti Fd

Buckingham π teorisi kullanılarak bu 5 değişken 2 tane boyutsuz parametreye dönüşür:

• Sürüklenim sabiti Cd

• Reynold sayısı Re

Bu değişkenler, denkleme Fd eklendiğinde:

$f_{a}(F_{D},\,u,\,A,\,\rho ,\,\nu )\,=\,0.\,$

durumuna gelir.

Bu denklem farklı bir gösterim şeklidir çünkü bire-bir bağıntısı aranmamaktadır. Bu denklemde Fa 5 adet bilinmeyeni olan bir fonksiyondur. Sağ taraf birimler açısından sıfırdır, bu sebeple Fa boyutsuz grubunda ifade edilebilir. Fa'nın içerdiği 5 değişkeni boyutsuz ifade edebilmenin birçok yolu var ancak Buckingham π teorisine göre sadece iki grup oluşur. Bunların en tutarlısı Reynold sayısını veren:

$\mathrm {Re} \,=\,{\frac {u\,{\sqrt {A}}}{\nu }}$

ve sürüklenim sabitini veren:

$C_{D}\,=\,{\frac {F_{D}}{{\frac {1}{2}}\,\rho \,A\,u^{2}}}.$

formülleridir.

Bu iki formül sayesinde 5 bilinmeyenli fonksiyon iki bilinmeyene indirgenir.

$f_{b}\left({\frac {F_{D}}{{\frac {1}{2}}\,\rho \,A\,u^{2}}},\,{\frac {u\,{\sqrt {A}}}{\nu }}\right)\,=\,0.$

burada f_b iki tane değişkenin işlevidir. Daha sonra ise verilen denklem ile eski yasa daha az bilinmeyen içeren yeni bir yasaya çevirilir. Çünkü yukarıda bilinmeyen tek değişken Fd (sürüklenim kuvveti) dir.

${\frac {F_{D}}{{\frac {1}{2}}\,\rho \,A\,u^{2}}}\,=\,f_{c}\left({\frac {u\,{\sqrt {A}}}{\nu }}\right)$

veya

$F_{D}\,=\,{\tfrac {1}{2}}\,\rho \,A\,u^{2}\,C_{D},\,$    

    $C_{D}\,=\,f_{c}(R_{e}).$

Kuvvet basitçe ½ ρ A u² bilinmeyen f_c şeklinde Reynolds sayısının R_e bağımlı bir işlevin çarpımından elde edilebilir. Bu durum başlangıçta bahsedilen beş değişkenli durumdan çok daha basittir.

Bu denklemde sürüklenim kuvveti, çarpım sabiti ve Fc nin çarpımı ile bulunur. İlk verilen denkleme göre daha basit bir çözüm yolu. Boyutsal analiz bu sebeple çok karışık olan bir problemi (5 bilinmeyen) daha kolay bir hale çevirir. Direnç kuvvetini tek bilinmeye ve Reynold sayısına bağlar.

Ayrıca, denklem bize diğer bilinmeyenlerin eşit olması halinde sürüklenim kuvvetinin sıvının özkütlesine orantılı olduğunu gösteriyor. Bu birçok yeni başlanılan projeler için hayati önem taşıyan bir bilgiydi.

Reynold sayısının denklemdeki önemini test edebilmek için sıvıların için büyük cisimler geçirmeye gerek yok, aynı testler daha küçük akışkan ve daha hızlı akan sıvılarda da denenebilir çünkü temelde sistemler aynıdır.

Kaynakça

• Batchelor, G.K. (1967). An Introduction to Fluid Dynamics. Cambridge University Press.
• Huntley, H. E. (1967). Dimensional Analysis. Dover.