Sönümlü poisson denklemi - Vikipedi
İçeriğe atla
Ana menü
Gezinti
  • Anasayfa
  • Hakkımızda
  • İçindekiler
  • Rastgele madde
  • Seçkin içerik
  • Yakınımdakiler
Katılım
  • Deneme tahtası
  • Köy çeşmesi
  • Son değişiklikler
  • Dosya yükle
  • Topluluk portalı
  • Wikimedia dükkânı
  • Yardım
  • Özel sayfalar
Vikipedi Özgür Ansiklopedi
Ara
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç

İçindekiler

  • Giriş
  • 1 Ayrıca bakınız

Sönümlü poisson denklemi

  • English
  • Русский
Bağlantıları değiştir
  • Madde
  • Tartışma
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Araçlar
Eylemler
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Genel
  • Sayfaya bağlantılar
  • İlgili değişiklikler
  • Kalıcı bağlantı
  • Sayfa bilgisi
  • Bu sayfayı kaynak göster
  • Kısaltılmış URL'yi al
  • Karekodu indir
Yazdır/dışa aktar
  • Bir kitap oluştur
  • PDF olarak indir
  • Basılmaya uygun görünüm
Diğer projelerde
  • Vikiveri ögesi
Görünüm
Vikipedi, özgür ansiklopedi
Bu madde hiçbir kaynak içermemektedir. Lütfen güvenilir kaynaklar ekleyerek madde içeriğinin geliştirilmesine yardımcı olun. Kaynaksız içerik itiraz konusu olabilir ve kaldırılabilir.
Kaynak ara: "Sönümlü poisson denklemi" – haber · gazete · kitap · akademik · JSTOR (Aralık 2009) (Bu şablonun nasıl ve ne zaman kaldırılması gerektiğini öğrenin)

Fizikte, Sönümlü Poisson Denklemi :

[ Δ − λ 2 ] u ( r ) = − f ( r ) {\displaystyle \left[\Delta -\lambda ^{2}\right]u(\mathbf {r} )=-f(\mathbf {r} )} {\displaystyle \left[\Delta -\lambda ^{2}\right]u(\mathbf {r} )=-f(\mathbf {r} )}

biçiminde Kısmi Diferansiyel Denklemdir. Burada Δ {\displaystyle \Delta } {\displaystyle \Delta } Laplasyene, f herhangi bir (kaynak fonksiyonu olarak da bilinen) konum fonksiyonuna ve u da belirlenecek fonksiyona karşılık gelmektedir. Sönümlü Poisson Denklemi sık sık Hideki Yukava'nın mezonlar teorisini ve de plazmada elektrik alan sönümlenmesini içeren fizik alanlarında karşımıza çıkar.

Homojen durumda (f=0), sönümlü Poisson denklemi, zamandan bağımsız Klein-Gordon denklemi ile aynıdır. İnhomojen durumda ise sönümlü Poisson denklemi, İnhomojen Helmholtz Denklemine çok yakındır, tek fark köşebentlerin içindeki işarettir.

Genellemeyi kaybetmeden, λ'yı negatif olarak almayacağız. λ sıfır olduğu zaman, denklem Poisson denklemi olacaktır. Dolayısıyla, λ çok küçük olduğu zaman, boyutun n=3 olduğu ve de 1/r fonksiyonlarının kaynak fonksiyonu f ile süperpozisyon olduğu sönümsüz Poisson denkleminin çözümüne bizim çözümümüz yaklaşacaktır.

u ( r ) ( Poisson ) = ∭ d 3 r ′ f ( r ′ ) 4 π | r − r ′ | . {\displaystyle u(\mathbf {r} )_{({\text{Poisson}})}=\iiint \mathrm {d} ^{3}r'{\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.} {\displaystyle u(\mathbf {r} )_{({\text{Poisson}})}=\iiint \mathrm {d} ^{3}r'{\frac {f(\mathbf {r} ')}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}.}

Diğer taraftan, λ çok büyük olduğu zaman, u, f/λ² değerine ulaşacaktır ki bu da λ sıfıra giderken sonsuza gidecektir. Göreceğimiz gibi, λ'nın normal değerleri için çözüm sönümlü 1/r fonksiyonları ile sönümün gücünü gösteren λ 'nın süperpozisyonu olacaktır.

Sönümlü Poisson Denklemi genel bir f için Green fonksiyonu yöntemini kullanarak çözülebilir. Green Fonksiyonu G

[ Δ − λ 2 ] G ( r ) = − δ 3 ( r ) . {\displaystyle \left[\Delta -\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {r} )=-\delta ^{3}(\mathbf {r} ).} {\displaystyle \left[\Delta -\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {r} )=-\delta ^{3}(\mathbf {r} ).}

olarak tanımlanır. u ve onun türevlerinin büyük r değerleri için sıfırlandığını varsayarsak, sürekli Fourier dönüşümünü uzaysal koordinatlarda uygulayabiliriz;

G ( k ) = ∭ d 3 r G ( r ) e − i k ⋅ r {\displaystyle G(\mathbf {k} )=\iiint \mathrm {d} ^{3}r\;G(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }} {\displaystyle G(\mathbf {k} )=\iiint \mathrm {d} ^{3}r\;G(\mathbf {r} )e^{-i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}

Burada integral tüm uzay üzerinden alınmıştır, anlaşılır şekilde şu da gösterilebilir

[ k 2 + λ 2 ] G ( k ) = 1. {\displaystyle \left[k^{2}+\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {k} )=1.} {\displaystyle \left[k^{2}+\lambda ^{2}\right]G(\mathbf {k} )=1.}

r argümanlı Green fonksiyonunu ters Fourier dönüşümü yapılarak bulunabilir,

G ( r ) = 1 ( 2 π ) 3 ∭ d 3 k e i k ⋅ r k 2 + λ 2 . {\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\;\iiint \mathrm {d} ^{3}\!k\;{\frac {e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}{k^{2}+\lambda ^{2}}}.} {\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {1}{(2\pi )^{3}}}\;\iiint \mathrm {d} ^{3}\!k\;{\frac {e^{i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} }}{k^{2}+\lambda ^{2}}}.}

Bu integralin değeri k-uzayında Küresel koordinatları kullanarak bulunabilir. Açısal koordinatlar üzerinden integral açık bir şekilde, bir bölü çizgisel dalga numarası k r {\displaystyle k_{r}} {\displaystyle k_{r}} na dönüşür:

G ( r ) = 1 2 π 2 r ∫ 0 + ∞ d k r k r sin ⁡ k r r k r 2 + λ 2 . {\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {1}{2\pi ^{2}r}}\;\int _{0}^{+\infty }\mathrm {d} k_{r}\;{\frac {k_{r}\,\sin k_{r}r}{k_{r}^{2}+\lambda ^{2}}}.} {\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {1}{2\pi ^{2}r}}\;\int _{0}^{+\infty }\mathrm {d} k_{r}\;{\frac {k_{r}\,\sin k_{r}r}{k_{r}^{2}+\lambda ^{2}}}.}

Bu ise Çizgi integrali kullanılarak bulunabilir ve sonuç :

G ( r ) = e − λ r 4 π r . {\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {e^{-\lambda r}}{4\pi r}}.} {\displaystyle G(\mathbf {r} )={\frac {e^{-\lambda r}}{4\pi r}}.}

Daha sonra problemin tümü için çözüm

u ( r ) = ∫ d 3 r ′ G ( r − r ′ ) f ( r ′ ) = ∫ d 3 r ′ e − λ | r − r ′ | 4 π | r − r ′ | f ( r ′ ) . {\displaystyle u(\mathbf {r} )=\int \mathrm {d} ^{3}r'G(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')f(\mathbf {r} ')=\int \mathrm {d} ^{3}r'{\frac {e^{-\lambda |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}f(\mathbf {r} ').} {\displaystyle u(\mathbf {r} )=\int \mathrm {d} ^{3}r'G(\mathbf {r} -\mathbf {r} ')f(\mathbf {r} ')=\int \mathrm {d} ^{3}r'{\frac {e^{-\lambda |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}{4\pi |\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}f(\mathbf {r} ').}

olarak bulunur. Üsttede belirtildiği gibi bu sönümlenmiş 1/r fonksiyonlarının kaynak fonksiyonu ile güçlendirilip sönümlenme gücü gibi davranan λ ile süperpozisyonudur. Sönümlenmiş 1/r fonksiyonu genellikle fizikte Yukawa Potansiyeli olarak da bilinen sönümlenmiş Coulomb potansiyeli olarak karşımıza çıkar.

İki Boyutta: Manyetik Plazma düşünüldüğünde sönümlü poisson denklemi 2boyutluya benzerdir:

( Δ ⊥ − 1 ρ 2 ) u ( r ⊥ ) = − f ( r ⊥ ) {\displaystyle \left(\Delta _{\perp }-{\frac {1}{\rho ^{2}}}\right)u(\mathbf {r} _{\perp })=-f(\mathbf {r} _{\perp })} {\displaystyle \left(\Delta _{\perp }-{\frac {1}{\rho ^{2}}}\right)u(\mathbf {r} _{\perp })=-f(\mathbf {r} _{\perp })}

burada Δ ⊥ = ∇ ⋅ ∇ ⊥ {\displaystyle \Delta _{\perp }=\nabla \cdot \nabla _{\perp }} {\displaystyle \Delta _{\perp }=\nabla \cdot \nabla _{\perp }} ve ∇ ⊥ = ∇ − B B ⋅ ∇ {\displaystyle \nabla _{\perp }=\nabla -{\frac {\mathbf {B} }{B}}\cdot \nabla } {\displaystyle \nabla _{\perp }=\nabla -{\frac {\mathbf {B} }{B}}\cdot \nabla }, B {\displaystyle \mathbf {B} } {\displaystyle \mathbf {B} } manyetik alana ve ρ {\displaystyle \rho } {\displaystyle \rho } ise Larmor radius a tekamül etmektedir. İlgili Green fonksiyonunun Fourier dönüşümü :

G ( k ⊥ ) = ∫ ∫ d 2 r   G ( r ⊥ ) e − i k ⊥ ⋅ r ⊥ {\displaystyle G(\mathbf {k_{\perp }} )=\int \int d^{2}r~G(\mathbf {r} _{\perp })e^{-i\mathbf {k} _{\perp }\cdot \mathbf {r} _{\perp }}} {\displaystyle G(\mathbf {k_{\perp }} )=\int \int d^{2}r~G(\mathbf {r} _{\perp })e^{-i\mathbf {k} _{\perp }\cdot \mathbf {r} _{\perp }}}

Daha sonra 2 boyutlu sönümlü poisson denklemi ile

( k ⊥ 2 + 1 ρ 2 ) G ( k ⊥ ) = 1 {\displaystyle \left(k_{\perp }^{2}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\right)G(\mathbf {k} _{\perp })=1} {\displaystyle \left(k_{\perp }^{2}+{\frac {1}{\rho ^{2}}}\right)G(\mathbf {k} _{\perp })=1}

olur. Dolayısıyla ters Fourier dönüşümü ile Green fonksiyonu:

G ( r ⊥ ) = 1 4 π 2 ∫ ∫ d 2 k e i k ⊥ ⋅ r ⊥ k ⊥ 2 + 1 / ρ 2 . {\displaystyle G(\mathbf {r} _{\perp })={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\;\int \int \mathrm {d} ^{2}\!k\;{\frac {e^{i\mathbf {k} _{\perp }\cdot \mathbf {r} _{\perp }}}{k_{\perp }^{2}+1/\rho ^{2}}}.} {\displaystyle G(\mathbf {r} _{\perp })={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\;\int \int \mathrm {d} ^{2}\!k\;{\frac {e^{i\mathbf {k} _{\perp }\cdot \mathbf {r} _{\perp }}}{k_{\perp }^{2}+1/\rho ^{2}}}.}

halini alır. k-uzayda (k'nın uzayın bazları olduğu kabul edildiğinde) Kutupsal koordinatlar kullanılarak bu integral çözülebilir :

k ⊥ = ( k r cos ⁡ ( θ ) , k r sin ⁡ ( θ ) ) {\displaystyle \mathbf {k} _{\perp }=(k_{r}\cos(\theta ),k_{r}\sin(\theta ))} {\displaystyle \mathbf {k} _{\perp }=(k_{r}\cos(\theta ),k_{r}\sin(\theta ))}

Açısal koordinatlardan integral hesap edildiğinde, bu integral bir bölü çizgisel dalganumarası k r {\displaystyle k_{r}} {\displaystyle k_{r}} 'na dönüşür:

G ( r ⊥ ) = 1 2 π ∫ 0 + ∞ d k r k r e i k r r ⊥ k r 2 + 1 / ρ 2 . {\displaystyle G(\mathbf {r} _{\perp })={\frac {1}{2\pi }}\;\int _{0}^{+\infty }\mathrm {d} k_{r}\;{\frac {k_{r}e^{ik_{r}r_{\perp }}}{k_{r}^{2}+1/\rho ^{2}}}.} {\displaystyle G(\mathbf {r} _{\perp })={\frac {1}{2\pi }}\;\int _{0}^{+\infty }\mathrm {d} k_{r}\;{\frac {k_{r}e^{ik_{r}r_{\perp }}}{k_{r}^{2}+1/\rho ^{2}}}.}

Ayrıca bakınız

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • Yukawa Etkileşimi
"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=Sönümlü_poisson_denklemi&oldid=33245535" sayfasından alınmıştır
Kategoriler:
  • Kısmi diferansiyel denklemler
  • Plazma fiziği
  • Elektrostatik
Gizli kategori:
  • Kaynakları olmayan maddeler Aralık 2009
  • Sayfa en son 20.55, 16 Haziran 2024 tarihinde değiştirildi.
  • Metin Creative Commons Atıf-AynıLisanslaPaylaş Lisansı altındadır ve ek koşullar uygulanabilir. Bu siteyi kullanarak Kullanım Şartlarını ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursunuz.
    Vikipedi® (ve Wikipedia®) kâr amacı gütmeyen kuruluş olan Wikimedia Foundation, Inc. tescilli markasıdır.
  • Gizlilik politikası
  • Vikipedi hakkında
  • Sorumluluk reddi
  • Davranış Kuralları
  • Geliştiriciler
  • İstatistikler
  • Çerez politikası
  • Mobil görünüm
  • Wikimedia Foundation
  • Powered by MediaWiki
Sönümlü poisson denklemi
Konu ekle