Ramsey teorisi

Ramsey Kuramı, 20. yüzyılın ilk yarısında yaşamış olan İngiliz matematikçi ve filozof Frank Ramsey, adını taşıyan ve "bir yapıda belirlenmiş bir özelliğin var olması için en az kaç eleman kullanılması yeterlidir" sorusunu temel alan bir teori. Ramsey kuramının sorularından biri; bir odadaki sonsuz tane insanın ya hepsinin birbirini tanıması ya da hiçbirinin birbirini tanımamasıdır.

Ramsey teoremi

n sayıda renk ve sonsuz sayıda noktamız olsun. Her iki nokta, bu n renkten birine boyanmış bir kenarla birleştirilmiş olsun. O zaman, bütün noktaları aynı renk kenarla birleştirilmiş sonsuz tane noktadan oluşan bir küme vardır.

Her insan bir nokta olarak gösterilsin. Eğer iki insan birbirini tanıyorsa, bu iki insanı birbirine kırmızı bir çizgiyle bağlayalım. Eğer iki insan birbirini tanımıyorsa, bu iki insanı da mavi bir çizgiyle bağlayalım. Her ikisi kırmızı ya da mavi çizgiyle birleştirilmiş sonsuz tane nokta elde edilir. Bu noktalar arasından, hep aynı renkle (ya hep kırmızıyla ya hep maviyle) birleştirilmiş sonsuz tane nokta bulunabilir.

Kanıt

Kanıt, iki aşamada gerçekleşir. Birinci aşamada, sonsuz tane $a_{0},a_{1},a_{2}...,a_{i},a_{i+1},a_{j+2},...$ noktası alınır, her $a_{i}$ kendisinden sonra gelen $a_{i+1},a_{i+2},a_{i+3},...$ noktalarıyla aynı renk çizgiyle (ya hep kırmızı, ya hep mavi çizgiyle) bağlanmıştır. $a_{0}$ herhangi bir nokta olsun . $a_{1},a_{2},a_{3},...$ noktaları öyle seçilmeli ki, $a_{0}$ noktası bu noktalarla hep aynı renk çizgiyle bağlanmış olsun.

$a_{0}$ noktası, (kişileri simgeleyen) öbür noktalarla ya kırmızı ya da mavi bir çizgiyle bağlanmıştır. Sonsuz tane nokta olduğundan ve yalnızca iki tane bağlantı rengi olduğundan, $a_{0}$'ın aynı renk çizgiyle bağlandığı sonsuz tane nokta vardır. $a_{0}$'ın hep aynı renk çizgiyle bağlandığı sonsuz bir nokta kümesi alalım. Bu kümeye $A_{0}$ diyelim. Demek ki, $a_{0}$, $A_{0}$'ın noktalarıyla hep aynı renk çizgiyle bağlanmıştır.

$a_{0}$ noktasından sonraki $a_{1},a_{2},a_{3},...$ noktalarını $A_{0}$kümesinden seçelim. Böylece $a_{0}$ noktası istenen koşulu sağlar.

$A_{0}$'dan herhangi bir $a_{1}$ noktası alalım. $a_{1}$ noktası, $A_{0}$'ın öbür noktalarına ya kırmızı ya da mavi bir renkle bağlanmıştır. $A_{0}$'da sonsuz tane nokta olduğundan ve yalnızca iki rengimiz olduğundan, $A_{0}$ kümesinde, $a_{1}$'in aynı renk çizgiyle bağlandığı sonsuz tane nokta vardır. Yani, ya {a∈$A_{0}$: $a_{1}$ noktası a'yla kırmızı bir çizgiyle bağlanmış} kümesi ya da {a∈$A_{0}$: $a_{1}$ noktası a'yla mavi bir çizgiyle bağlanmış } kümesi sonsuzdur. Bu kümelerden sonsuz olanına $A_{1}$ diyelim. Demek ki, $a_{1}$, $A_{1}$'in noktalarıyla hep aynı renk çizgiyle bağlanmıştır.

$a_{2},a_{3},a_{4},...$ noktaları da $A_{1}$ kümesinden seçilir ve böylece yukarıdaki koşul $a_{1}$ için sağlanmış olur.

$A_{1}$'den herhangi bir $a_{2}$ noktası alalım. $a_{2}$ noktası $A_{1}$'in öbür noktalarıyla ya kırmızı ya da mavi bir çizgiyle bağlanmıştır. $A_{1}$'de sonsuz nokta olduğundan ve yalnızca iki rengimiz olduğundan, $A_{1}$'de, $a_{1}$'in hep aynı renkle bağlandığı sonsuz tane nokta vardır. Bir başka deyişle, ya {a∈$A_{1}$: $a_{2}$ noktası a'yla kırmızı bir çizgiyle bağlanmış} kümesi ya da {a∈$A_{1}$: $a_{2}$ noktası a'yla mavi bir çizgiyle bağlanmış} kümesi sonsuzdur. Bu kümelerden sonsuz olanına $A_{2}$ diyelim. Demek ki, $a_{2}$, $A_{2}$'nin noktalarıyla hep aynı renk çizgiyle bağlanmıştır.

$a_{3},a_{4},a_{5}...$ noktalarını $A_{2}$'de seçilir ve böylece yukarıdaki koşul $a_{2}$ için sağlanmış olur.

$A_{2}$'den herhangi bir $a_{3}$ noktası alalım. Yukarıda yapılanları $a_{3}$ ve $A_{2}$ için yapalım. $A_{2}$'nin içinde, öyle bir sonsuz $A_{3}$ kümesi bulalım ki, $a_{3}$, $A_{3}$'ün her noktasıyla hep aynı renk çizgiyle bağlanmış olsun. Bunu böylece sonsuza kadar sürdürebiliriz. Demek ki, öyle $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},...,a_{i},a_{i+1},a_{i+2},...$noktaları bulunur ki, her nokta kendisinden sonra gelen noktalarla aynı renk çizgiyle bağlanmış olur.

Kanıtın birinci aşaması tamamlandı. İkinci aşama:

Seçilen $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},...$ noktalarının her birine bir renk verilir. Eğer bir nokta kendisinden sonra gelen noktalarla hep kırmızı çizgiyle bağlanmışsa, o noktaya kırmızı nokta diyelim. Yoksa, o noktaya mavi nokta diyelim. Örneğin, eğer $a_{0}$ noktası, kendisinden sonra gelen $a_{1},a_{2},a_{3},...$ noktalarıyla hep kırmızı bir çizgiyle bağlanmışsa, $a_{0}$ noktası kırmızı noktadır. Eğer $a_{5}$ noktası kendisinden sonra gelen $a_{6},a_{7},a_{8},...$ noktalarıyla hep mavi çizgiyle bağlanmışsa, $a_{5}$ noktası mavi noktadır.

Sonsuz sayıda nokta olduğundan ve yalnızca iki renk olduğundan, $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},...$ noktalarından sonsuz tanesi aynı renk noktadır. Bir başka deyişle, ya kırmızı noktalar kümesi ya da mavi noktalar kümesi sonsuzdur. Matematiksel olarak, ya {$a_{i}$: $a_{i}$ kırmızı bir nokta} ya da {$a_{i}$: $a_{i}$ mavi bir nokta} kümesi sonsuzdur. İki küme birden de sonsuz olabilir, ama en azından birinin sonsuz olduğunu biliyoruz. İki kümeden sonsuz olanını alalım. Öbür noktaları atalım. Noktaları yeniden adlandırarak, her noktanın aynı renk olduğunu varsayalım, hepsi kırmızı olsun. Demek ki, $a_{0},a_{1},a_{2},a_{3},a_{4},...$ noktalarının her birinin kırmızı olduğunu varsaydık. Bu kümeden iki nokta alalım: $a_{i}$ ve $a_{j}$. i, j'den daha küçük. $a_{i}$, kırmızı bir nokta olsun. $a_{i}$ noktası $a_{j}$noktasıyla kırmızı bir çizgiyle bağlanır. Demek ki yukarıdaki sonsuz nokta birbirleriyle aynı renk çizgiyle (kırmızıyla) bağlanmıştır. Ramsey'in teoremi kanıtlanmış oldu.

Ramsey sayıları

Teorem: a ve b herhangi iki doğal sayı olsun. Öyle bir N vardır ki, eğer n ≥ N ise, kenarları A ve B renklerine boyanmış $K_{n}$ tam çizgesinde ya tamamen A renkli bir $K_{a}$ ya da tamamen B renkli bir $K_{b}$ vardır.

Tanım: Eğer bir çizgenin bütün köşe noktaları birbiri ile yalnız ve ancak bir bağ yapıyorsa bunlara tam çizgeler denir ve köşe noktası sayısına göre adlandırılır. Örneğin $K_{n}$ n köşesi olan tam çizgenin gösterimi için kullanılır. $K_{3}$ çizgesi bir üçgen belirtir. Tanıma göre 6 kenarlı ve iki renkli bir düzenli tam çizge çizilirse iki renkten birinde mutlaka bir $K_{3}$ bulunur.

Teoremde en küçük N sayısına Ramsey sayısı denir ve r(a, b) olarak yazılır.

Yukarıdaki örnek r(3,3)=6 olur.

Bazı r(a, b) sayılarını bulmak kolay ; r(1, b)=1 r(2, b)=b Ramsey sayıları için genel bir formül bilinmiyor. Ramsey sayılarının bulunması çizge kuramının sorularından biridir.

Paul Erdős ve George Szekeres'in teoremi r(a, b) sayılarına üst sınır getiriyor.

Teorem: a≥2 ve b≥2 iki tam sayıysa, r(a, b) ≤ r(a, b-1)+r(a-1, b-a*1) Eğer r(a, b-1) ve r(a-1, b) sayılarının ikisi de çiftse r(a, b) < r(a, b-1)+r(a-1, b).