N-küre hacminin türevi - Vikipedi
İçeriğe atla
Ana menü
Gezinti
  • Anasayfa
  • Hakkımızda
  • İçindekiler
  • Rastgele madde
  • Seçkin içerik
  • Yakınımdakiler
Katılım
  • Deneme tahtası
  • Köy çeşmesi
  • Son değişiklikler
  • Dosya yükle
  • Topluluk portalı
  • Wikimedia dükkânı
  • Yardım
  • Özel sayfalar
Vikipedi Özgür Ansiklopedi
Ara
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç
  • Bağış yapın
  • Hesap oluştur
  • Oturum aç

İçindekiler

  • Giriş
  • 1 n-kürenin hacimlerinin türevleri
    • 1.1 Genel form (özyineleme formu)
    • 1.2 ninci kuvvetten yarıçaplı hacim
    • 1.3 İlk birkaç adım
    • 1.4 Genel Durum
    • 1.5 Genel form ve yüzey alanı
  • 2 İleri genelleme
  • 3 Kaynakça

N-küre hacminin türevi

  • Català
  • English
  • Español
  • Français
  • 日本語
  • Português
  • Русский
Bağlantıları değiştir
  • Madde
  • Tartışma
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Araçlar
Eylemler
  • Oku
  • Değiştir
  • Kaynağı değiştir
  • Geçmişi gör
Genel
  • Sayfaya bağlantılar
  • İlgili değişiklikler
  • Kalıcı bağlantı
  • Sayfa bilgisi
  • Bu sayfayı kaynak göster
  • Kısaltılmış URL'yi al
  • Karekodu indir
Yazdır/dışa aktar
  • Bir kitap oluştur
  • PDF olarak indir
  • Basılmaya uygun görünüm
Diğer projelerde
  • Vikiveri ögesi
Görünüm
Vikipedi, özgür ansiklopedi

Geometride bir kürenin hacmi için bir özel durum n-boyutlu Euclid uzayı içindeki bir kürenin n-boyutlu hacmidir.

n-kürenin hacimlerinin türevleri

[değiştir | kaynağı değiştir]

Genel form (özyineleme formu)

[değiştir | kaynağı değiştir]

n-kürenin yarıçapı r. olmak üzere V(n)[r], n-küre

hacmi

V ( 1 ) [ r ] = 2 r {\displaystyle V^{(1)}[r]=2r\,} {\displaystyle V^{(1)}[r]=2r\,}

Çünkü bu yarıçapın iki katı uzunlukta düz bir çizgidir i.e.

{ x ∈ R : | x | ≤ r } . {\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :|x|\leq r\}.} {\displaystyle \{x\in \mathbb {R} :|x|\leq r\}.}

n ≥ 1 için:

V ( n + 1 ) [ r ] = ∫ − r r V ( n ) [ r 2 − x 2 ] d x . {\displaystyle V^{(n+1)}[r]=\int _{-r}^{r}V^{(n)}\left[{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,\right]\,dx.} {\displaystyle V^{(n+1)}[r]=\int _{-r}^{r}V^{(n)}\left[{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,\right]\,dx.}

ninci kuvvetten yarıçaplı hacim

[değiştir | kaynağı değiştir]

ninci kuvvetten yarıçaplı n-küre'nin hacmini indüksiyon yoluyla gösterebiliriz .Tek boyutludan yararlanmak n boyutlu çıkarımlar için destek olur:

V ( n ) [ r ] = r n V ( n ) [ 1 ] . {\displaystyle V^{(n)}[r]=r^{n}V^{(n)}[1].\,} {\displaystyle V^{(n)}[r]=r^{n}V^{(n)}[1].\,}

Buradan:

V ( n + 1 ) [ r ] = ∫ − r r V ( n ) [ r 2 − x 2 ] d x , {\displaystyle V^{(n+1)}[r]=\int _{-r}^{r}V^{(n)}\left[{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,\right]dx,} {\displaystyle V^{(n+1)}[r]=\int _{-r}^{r}V^{(n)}\left[{\sqrt {r^{2}-x^{2}}}\,\right]dx,}
V ( n + 1 ) [ r ] = r ∫ − 1 1 V ( n ) [ r 2 − ( r x ) 2 ] d x , {\displaystyle V^{(n+1)}[r]=r\int _{-1}^{1}V^{(n)}\left[{\sqrt {r^{2}-(rx)^{2}}}\,\right]\,dx,} {\displaystyle V^{(n+1)}[r]=r\int _{-1}^{1}V^{(n)}\left[{\sqrt {r^{2}-(rx)^{2}}}\,\right]\,dx,}
V ( n + 1 ) [ r ] = r ∫ − 1 1 V ( n ) [ r ( 1 − x 2 ) ] d x , {\displaystyle V^{(n+1)}[r]=r\int _{-1}^{1}V^{(n)}\left[r{\sqrt {(1-x^{2})}}\,\right]dx,} {\displaystyle V^{(n+1)}[r]=r\int _{-1}^{1}V^{(n)}\left[r{\sqrt {(1-x^{2})}}\,\right]dx,}
V ( n + 1 ) [ r ] = r ∫ − 1 1 r n V ( n ) [ ( 1 − x 2 ) ] d x = r n + 1 V ( n + 1 ) [ 1 ] . {\displaystyle V^{(n+1)}[r]=r\int _{-1}^{1}r^{n}V^{(n)}\left[{\sqrt {(1-x^{2})}}\,\right]dx=r^{n+1}V^{(n+1)}[1].} {\displaystyle V^{(n+1)}[r]=r\int _{-1}^{1}r^{n}V^{(n)}\left[{\sqrt {(1-x^{2})}}\,\right]dx=r^{n+1}V^{(n+1)}[1].}

Biz şimdi bütün n ≥ 1,için ninci kuvvetten yarıçap uzunlukluklu n-kürenin hacmini; birim kürenin hacmini n-kürenin V ( n ) {\displaystyle V^{(n)}} {\displaystyle V^{(n)}} ile gösterirsek:

V ( n ) [ r ] = r n V ( n ) , {\displaystyle V^{(n)}[r]=r^{n}V^{(n)},\,} {\displaystyle V^{(n)}[r]=r^{n}V^{(n)},\,}
V ( n + 1 ) = ∫ − 1 1 ( 1 − x 2 ) n V ( n ) d x , {\displaystyle V^{(n+1)}=\int _{-1}^{1}\left({\sqrt {1-x^{2}}}\,\right)^{n}V^{(n)}\,dx,} {\displaystyle V^{(n+1)}=\int _{-1}^{1}\left({\sqrt {1-x^{2}}}\,\right)^{n}V^{(n)}\,dx,}
V ( n + 1 ) = V ( n ) ∫ − 1 1 ( 1 − x 2 ) n d x . {\displaystyle V^{(n+1)}=V^{(n)}\int _{-1}^{1}\left({\sqrt {1-x^{2}}}\,\right)^{n}\,dx.} {\displaystyle V^{(n+1)}=V^{(n)}\int _{-1}^{1}\left({\sqrt {1-x^{2}}}\,\right)^{n}\,dx.}

İlk birkaç adım

[değiştir | kaynağı değiştir]
V ( 2 ) {\displaystyle V^{(2)}} {\displaystyle V^{(2)}} durumunda
V ( 2 ) = V ( 1 ) ∫ − 1 1 1 − x 2 d x = 2 x 1 − x 2 + arcsin ⁡ x 2 | x = − 1 1 = π , {\displaystyle V^{(2)}=V^{(1)}\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx=2\left.{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}+\arcsin x}{2}}\right|_{x=-1}^{1}=\pi ,} {\displaystyle V^{(2)}=V^{(1)}\int _{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx=2\left.{\frac {x{\sqrt {1-x^{2}}}+\arcsin x}{2}}\right|_{x=-1}^{1}=\pi ,}

birim çember bölgesinden, son türevler(çıkarımlar)'la, birim küre hacmi, kolayca:

V ( 3 ) = V ( 2 ) ∫ − 1 1 ( 1 − x 2 ) d x = 4 3 π . {\displaystyle V^{(3)}=V^{(2)}\int _{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)dx={\frac {4}{3}}\pi .} {\displaystyle V^{(3)}=V^{(2)}\int _{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)dx={\frac {4}{3}}\pi .}

Genel Durum

[değiştir | kaynağı değiştir]

Genlleştirilmiş herhangi boyutta bir türevlerini denemek için:

V ( n + 1 ) = V ( n ) ∫ − 1 1 ( 1 − x 2 ) n / 2 d x = V ( n ) ⋅ 2 ∫ 0 1 ( 1 − x 2 ) n / 2 d x {\displaystyle V^{(n+1)}=V^{(n)}\int _{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n/2}dx=V^{(n)}\cdot 2\int _{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n/2}dx} {\displaystyle V^{(n+1)}=V^{(n)}\int _{-1}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n/2}dx=V^{(n)}\cdot 2\int _{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n/2}dx}

Burada integrandın davranışını grafik yoluyla kolayca görselleştirebiliriz:

Görüldüğü gibi, hiperküre boyut sayısı arttıkça sıkıştıkça sıkışır.

u değişken değiştirmesi koyarak  = 1 − x2 :

x = 1 − u  ve  d x = − d u 2 1 − u {\displaystyle x={\sqrt {1-u}}{\text{ ve }}dx={\frac {-du}{2{\sqrt {1-u}}}}} {\displaystyle x={\sqrt {1-u}}{\text{ ve }}dx={\frac {-du}{2{\sqrt {1-u}}}}}
V ( n + 1 ) = V ( n ) ⋅ 2 ∫ 0 1 ( 1 − x 2 ) n / 2 d x = V ( n ) ∫ 0 1 u n / 2 ( 1 − u ) − 1 / 2 d u {\displaystyle V^{(n+1)}=V^{(n)}\cdot 2\int _{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n/2}\,dx=V^{(n)}\int _{0}^{1}u^{n/2}(1-u)^{-1/2}\,du} {\displaystyle V^{(n+1)}=V^{(n)}\cdot 2\int _{0}^{1}\left(1-x^{2}\right)^{n/2}\,dx=V^{(n)}\int _{0}^{1}u^{n/2}(1-u)^{-1/2}\,du}

integral'in sağı beta fonksiyonu olarak bilinir:

V ( n + 1 ) = V ( n ) B ( n 2 + 1 , 1 2 ) , {\displaystyle V^{(n+1)}=V^{(n)}\mathrm {B} \left({\frac {n}{2}}+1,{\frac {1}{2}}\right),} {\displaystyle V^{(n+1)}=V^{(n)}\mathrm {B} \left({\frac {n}{2}}+1,{\frac {1}{2}}\right),}

gama fonksiyonu terimleri ile de gösterilebilir:

V ( n + 1 ) = V ( n ) Γ ( n 2 + 1 ) Γ ( 1 2 ) Γ ( n 2 + 3 2 ) . {\displaystyle V^{(n+1)}=V^{(n)}{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+{\frac {3}{2}}\right)}}.} {\displaystyle V^{(n+1)}=V^{(n)}{\frac {\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)\Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+{\frac {3}{2}}\right)}}.}

Bütün l n ≥ 1 için

Γ ( 1 2 ) = π , {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},} {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},} den dolayı induksiyon'la kolayca doğrulanabilir:
V ( n ) = π n / 2 Γ ( n 2 + 1 ) . {\displaystyle V^{(n)}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}.} {\displaystyle V^{(n)}={\frac {\pi ^{n/2}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}.}

Genel form ve yüzey alanı

[değiştir | kaynağı değiştir]

n-kürenin "yüzey alanı" ("n" − 1)-boyutlu (n − 1)-kürenin hacim ölçümü, n-küre hacimli kürenin yarıçapı ile kolayca bulunabilir.

Bu nedenle n-küre yarıçapı r ile gösterirsek

V ( n ) [ r ] = π n / 2 r n Γ ( n 2 + 1 ) , {\displaystyle V^{(n)}[r]={\frac {\pi ^{n/2}r^{n}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}},} {\displaystyle V^{(n)}[r]={\frac {\pi ^{n/2}r^{n}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}},}

Buradan "yüzey alanı"

S ( n − 1 ) [ r ] = ∂ ∂ r V ( n ) [ r ] = π n / 2 n r n − 1 Γ ( n 2 + 1 ) = 2 π n / 2 r n − 1 Γ ( n 2 ) . {\displaystyle S^{(n-1)}[r]={\frac {\partial }{\partial r}}V^{(n)}[r]={\frac {\pi ^{n/2}nr^{n-1}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}={\frac {2\pi ^{n/2}r^{n-1}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}.} {\displaystyle S^{(n-1)}[r]={\frac {\partial }{\partial r}}V^{(n)}[r]={\frac {\pi ^{n/2}nr^{n-1}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)}}={\frac {2\pi ^{n/2}r^{n-1}}{\Gamma \left({\frac {n}{2}}\right)}}.}

İleri genelleme

[değiştir | kaynağı değiştir]

p ≠ 2 üzerindeki durumlarda integrasyon metodu,Lp uzay kürelere taşınmalıdır göründüğü gibi sorun pek kolay değil, bu problemin bilgi teorisi ve kodlama teorisi için çok büyük önemi vardır. Nükleer patlamalarda atomaltı kuvvetlerin kuvvetlerin simülasyonunda saçılma kesrinin Çok boyutlu hiperküre hacminin doğru ve titiz hesaplanmasıyla alakalıdır. Ayrıca, başlangıç ifadeler (n) karmaşık analitik sürekli oldukları için boyutsal düzenleme'de ve standart model'de temel parçacıklarla ilgili hesaplamalarda temel bir adım olarak kullanılır.

Kaynakça

[değiştir | kaynağı değiştir]
  • http://www.brouty.fr/Maths/sphere.html17 Temmuz 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • http://mathworld.wolfram.com/Hypersphere.html29 Mart 2010 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
  • https://web.archive.org/web/20080914195848/http://www-staff.lboro.ac.uk/~coael/hypersphere.pdf
  • http://www.mathreference.com/ca-int,hsp.html3 Nisan 2009 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
"https://tr.wikipedia.org/w/index.php?title=N-küre_hacminin_türevi&oldid=36409563" sayfasından alınmıştır
Kategori:
  • Çok boyutlu geometri
Gizli kategori:
  • Webarşiv şablonu wayback bağlantıları
  • Sayfa en son 21.23, 17 Kasım 2025 tarihinde değiştirildi.
  • Metin Creative Commons Atıf-AynıLisanslaPaylaş Lisansı altındadır ve ek koşullar uygulanabilir. Bu siteyi kullanarak Kullanım Şartlarını ve Gizlilik Politikasını kabul etmiş olursunuz.
    Vikipedi® (ve Wikipedia®) kâr amacı gütmeyen kuruluş olan Wikimedia Foundation, Inc. tescilli markasıdır.
  • Gizlilik politikası
  • Vikipedi hakkında
  • Sorumluluk reddi
  • Davranış Kuralları
  • Geliştiriciler
  • İstatistikler
  • Çerez politikası
  • Mobil görünüm
  • Wikimedia Foundation
  • Powered by MediaWiki
N-küre hacminin türevi
Konu ekle