Lie eşcebri

Matematik'te bir Lie eşcebri ikili yapıda bir Lie cebridir.

sonlu boyutlular içinde, burada ikili nesnelerdir: Lie eşcebrinin yapısı bir Lie cebri doğasında ikili vektör uzayıdır ve terside var.

Tanım

Diyelimki E bir vektör uzayı üzerinde bir k alanı donanımı ile bir doğrusal gönderim $d\colon E\to E\wedge E$ olsun E den E ile kendisinin dış çarpımı'nadır, bunu genişletmekte mümkündür d bir kademe türevi tekliğine (bunun anlamı, herhangi a, b için ∈ E homojen elemanılarıdır, $d(a\wedge b)=(da)\wedge b+(-1)^{\operatorname {deg} a}a\wedge (db)$) E dış cebiri'nin derecesi 1 olsun:

$d\colon \bigwedge ^{\bullet }E\rightarrow \bigwedge ^{\bullet +1}E.$

öyleyse (E, d) çifti eğer d² = 0 ise bir Lie eşcebri olduğu söylenir, örneğin eğer dış cebri'nin kademeli bileşenleri ile türevleri $(\bigwedge ^{*}E,d)$ bir eşzincir karmaşık formudur:

$E\ \rightarrow ^{\!\!\!\!\!\!d}\ E\wedge E\ \rightarrow ^{\!\!\!\!\!\!d}\ \bigwedge ^{3}E\rightarrow ^{\!\!\!\!\!\!d}\ \dots$

De Rham karmaşık İlişkisi

vektör alanları'nın dış cebri olarak (ve tensör cebri) sadece diferansiyel formların de Rham karmaşığı olarak bir manifold formun bir Lie eşcebri(K baz alanı üzerindedir. Ayrıca, vektör alanları ve diferansiyel formlar arasında bir eşleştirme vardır. ancak, durum ustacadır: Lie braketi düzgün fonksiyon $C^{\infty }(M)$ un üzerindeki cebir doğrusal değildir (hatta Lie türevidir) veya dış türev'i değildir: $d(fg)=(df)g+f(dg)\neq f(dg)$ (bunun bir türevidir, fonksiyonları üzerinde doğrusal değil): bu tensör değildir. Onlar fonksiyonları üzerinde doğrusal olmayan, ama tutarlı bir şekilde davranırlar, Lie cebir ve Lie eşcebri kavramı basitçe yakalanamaz. Daha fazla, de Rham karmaşığı içinde, derivasyon için tanımlanan sadece$\Omega ^{1}\to \Omega ^{2}$, aynı zamanda $C^{\infty }(M)\to \Omega ^{1}(M)$ için tanımlanmıştır.

Lie cebri olarak ikili yapı

Bir vektör uzayı üzerinde bir Lie cebir yapı haritası $[\cdot ,\cdot ]\colon {\mathfrak {g}}\times {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ çarpık-simetrik'tir ve Jacobi özdeşliği tatmin edicidir.Eşdeğer bir harita $[\cdot ,\cdot ]\colon {\mathfrak {g}}\wedge {\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {g}}$ bu Jacobi özdeşliği tatmin edicidir.

Ikili, bir vektör uzayı diyelim ki E üzerinde bir Lie eşcebri yapısı doğrusal bir harita $d\colon E\to E\otimes E$ bu antisimetriktir (Bu bunu karşılamak demektir $\tau \circ d=-d$, burada $\tau$ kurallı çevirmedir$E\otimes E\to E\otimes E$) ve eşdöngü durumu denmesi uygundur (ayrıca eş-Leibniz kuralı olarak da bilinir)

$\left(d\otimes \mathrm {id} \right)\circ d=\left(\mathrm {id} \otimes d\right)\circ d+\left(\mathrm {id} \otimes \tau \right)\circ \left(d\otimes \mathrm {id} \right)\circ d$.

Antisimetri durumuna ikili, harita $d\colon E\to E\otimes E$ ayrıca bir harita olarak yazılabilir $d\colon E\to E\wedge E$.

bir Lie cebrinin Lie braketi çiftinin ${\mathfrak {g}}$ ürün bir haritası (eşdeğişmeli)

$[\cdot ,\cdot ]^{*}\colon {\mathfrak {g}}^{*}\to ({\mathfrak {g}}\wedge {\mathfrak {g}})^{*}\cong {\mathfrak {g}}^{*}\wedge {\mathfrak {g}}^{*}$

burada izomorfizm $\cong$ sonlu boyut içinde tutunur;Lie eşçarpımı'nin ikilisi için ikilidir. Bu konu içinde, Jacobi özdeşliği eşdöngü durumuna karşı gelir.

Daha açıkçası, diyelim ki E karakteristik ne 2 ne de 3 bir alan üzerinde bir Lie eşcebri olsun.Çift alan E^* ile tanımlanan bir braket yapısını taşır

α([x, y]) = dα(x∧y), hepsi için α ∈ E vex,y ∈ E^*.

Bizim gösterdiğimiz bu bağlantı E^* ile bir Lie braketidir. Jacobi özdeşliği ile kontrol etmek için yeterlidir .Herhangi x, y, z ∈ E^* ve α ∈ E için

$d^{2}\alpha (x\wedge y\wedge z)={\frac {1}{3}}d^{2}\alpha (x\wedge y\wedge z+y\wedge z\wedge x+z\wedge x\wedge y)={\frac {1}{3}}\left(d\alpha ([x,y]\wedge z)+d\alpha ([y,z]\wedge x)+d\alpha ([z,x]\wedge y)\right),$

burada ikinci adım eşlenikler arasında kama çarpımı ile bir kama çarpımı çifti, standart ayrımı aşağıdadır . sonucu şudur

$d^{2}\alpha (x\wedge y\wedge z)={\frac {1}{3}}\left(\alpha ([[x,y],z])+\alpha ([[y,z],x])+\alpha ([[z,x],y])\right).$

dolayısıyla d² = 0, bu aşağıdadır

$\alpha ([[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y])=0$, için herhangi α, x, y ve z.

Böylece, çift ikilik izomorfizmi (daha doğrusu, çift ikilikli monomorfizm tarafından, dolayı sonlu boyutlu vektör uzayına gerek olmayabilir) tarafından, Jacobi özdeşliğine uyar.

özel olarak, unutmayın eşdöngü durumunu bu kanıt göstermektedir d² = 0 içinde, Jacobi özdeşliği içinde bir ikili anlamdır

Kaynakça

• Michaelis, Walter (1980), "Lie coalgebras", Advances in Mathematics, 38 (1), ss. 1-54, doi:10.1016/0001-8708(80)90056-0, ISSN 0001-8708, MR594993