Lebedev-Milin eşitsizliği

Matematikte, Lebedev–Milin eşitsizliği, bir kuvvet serisinin üstel fonksiyonunun katsayıları için Lebedev ve Milin ile İsaak Moiseyeviç Milin tarafından bulunan birkaç eşitsizlikten herhangi birine verilen addır. Bu eşitsizlik, Bieberbach sayıtının ispatında kullanılmıştır, çünkü Milin sayıtının Robertson sayıtını sağladığını gösterir.

Eşitsizliğin ifadesi

Negatif olmayan $k$ tamsayısı için $\beta _{k}$ ve $\alpha _{k}$ karmaşık sayılar ve $n$ poszitif tamsayı olmak üzere, karmaşık düzlemin başnoktasının bir komşuluğundaki $z$ noktaları için

$\sum _{k\geq 0}\beta _{k}z^{k}=e^{\sum _{k\geq 1}\alpha _{k}z^{k}}$

olsun. O zaman,

1. $\sum _{k=0}^{\infty }|\beta _{k}|^{2}\leq e^{\sum _{k=1}^{\infty }k|\alpha _{k}|^{2}}$ olur. Sağ taraf sonlu ise, eşitlik ancak ve ancak her $k\geq 1$ için $\alpha _{k}={\frac {\gamma _{k}}{k}}$ bağıntısını sağlayan ve mutlak değeri birden küçük olan bir $\gamma$ karmaşık sayısı varsa sağlanır.
2. $\sum _{k=0}^{n}|\beta _{k}|^{2}\leq (n+1)e^{{\frac {1}{n+1}}\sum _{m=1}^{n}\sum _{k=1}^{m}\left(k|\alpha _{k}|^{2}-{\frac {1}{k}}\right)}$ olur. Eşitlik bir $n$ için ancak ve ancak her $1\leq k\leq 1$ için $\alpha _{k}={\frac {\gamma _{k}}{k}}$ bağıntısını sağlayan ve mutlak değeri bire eşit olan bir $\gamma$ karmaşık sayısı varsa sağlanır.
3. $|\beta _{n}|^{2}\leq e^{\sum _{k=1}^{n}\left(k|\alpha _{k}|^{2}-{\frac {1}{k}}\right))}$ olur. Eşitlik bir $n$ için ancak ve ancak her $1\leq k\leq 1$ için $\alpha _{k}={\frac {\gamma _{k}}{k}}$ bağıntısını sağlayan ve mutlak değeri bire eşit olan bir $\gamma$ karmaşık sayısı varsa sağlanır.