Konum (geometri)

Yarıçap vektörü ${\vec {r}}$, bir $\mathrm {P} (x,y,z)$ noktasının O orijinine göre konumunu temsil eder. Kartezyen koordinat sisteminde ${\vec {r}}=x\,{\hat {e}}_{x}+y\,{\hat {e}}_{y}+z\,{\hat {e}}_{z}$ şeklindedir.

Geometride, konum, konum vektörü ya da yer vektörü, uzaydaki bir P noktasını temsil eden bir Öklid vektörüdür. Uzunluğu, keyfi bir referans orijin O'ya olan mesafeyi temsil eder ve yönü, verilen referans eksenlerine göre açısal yönelimi belirtir. Genellikle x, r veya s ile gösterilir ve O'dan P'ye uzanan doğru parçasına karşılık gelir. Başka bir deyişle, orijini P'ye eşleyen yer değiştirme veya ötelemedir:

$\mathbf {r} ={\overrightarrow {OP}}.$

Konum vektörü terimi çoğunlukla diferansiyel geometri, mekanik ve bazen vektör analizi alanlarında kullanılır. Sıklıkla iki boyutlu veya üç boyutlu uzayda kullanılır, ancak herhangi bir boyuttaki Öklid uzaylarına ve afin uzaylara kolayca genelleştirilebilir.

Bağıl konum

Bir Q noktasının P noktasına göre bağıl konumu, iki mutlak konum vektörünün (her biri orijine göre) çıkarılmasıyla elde edilen Öklid vektörüdür:

$\Delta \mathbf {r} =\mathbf {s} -\mathbf {r} ={\overrightarrow {PQ}},$

burada $\mathbf {s} ={\overrightarrow {OQ}}$ şeklindedir. İki nokta arasındaki bağıl yön, bunların birim vektör olarak normalleştirilmiş bağıl konumudur.

Tanım ve gösterim

Ayrıca bakınız: Koordinat sistemi

Üç boyut

3-boyutta uzay eğrisi. Konum vektörü r, bir t skaleri ile parametrize edilmiştir. r = a noktasında kırmızı çizgi eğriye teğettir ve mavi düzlem eğriye normaldir.

Üç boyutta, üç boyutlu koordinatlar ve bunlara karşılık gelen taban vektörlerinden (basis vectors) oluşan herhangi bir küme, uzaydaki bir noktanın yerini tanımlamak için kullanılabilir; eldeki görev için hangisi en basitse o kullanılabilir. Genellikle alışılagelen Kartezyen koordinat sistemi veya dikdörtgen ya da dairesel simetrileri nedeniyle bazen küresel kutupsal koordinatlar ya da silindirik koordinatlar kullanılır:

${\begin{aligned}\mathbf {r} (t)&\equiv \mathbf {r} (x,y,z)\equiv x(t)\mathbf {\hat {e}} _{x}+y(t)\mathbf {\hat {e}} _{y}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\theta ,\phi )\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\theta (t),\phi (t){\big )}\\&\equiv \mathbf {r} (r,\phi ,z)\equiv r(t)\mathbf {\hat {e}} _{r}{\big (}\phi (t){\big )}+z(t)\mathbf {\hat {e}} _{z},\\\end{aligned}}$

burada t bir parametredir. Bu farklı koordinatlar ve karşılık gelen taban vektörleri aynı konum vektörünü temsil eder. Bunun yerine daha genel eğrisel koordinatlar kullanılabilir ve bunlar sürekli ortamlar mekaniği ve genel görelilik (bu durumda ek bir zaman koordinatına ihtiyaç duyulur) gibi bağlamlarda yer alır.

n boyut

Lineer cebir, n-boyutlu bir konum vektörünün soyutlanmasına izin verir. Bir konum vektörü, taban vektörlerinin bir lineer kombinasyonu olarak ifade edilebilir:

$\mathbf {r} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {e} _{i}=x_{1}\mathbf {e} _{1}+x_{2}\mathbf {e} _{2}+\dotsb +x_{n}\mathbf {e} _{n}.$

Tüm konum vektörlerinin kümesi, konum uzayını (elemanları konum vektörleri olan bir vektör uzayı) oluşturur, çünkü konumlar uzayda başka bir konum vektörü elde etmek için toplanabilir (vektör toplama) ve uzunlukları ölçeklenebilir (skaler çarpma). "Uzay" kavramı sezgiseldir; her bir x_i (i = 1, 2, …, n) herhangi bir değere sahip olabildiğinden, değerler koleksiyonu uzayda bir noktayı tanımlar.

Konum uzayının boyutu n'dir (ayrıca dim(R) = n olarak gösterilir). r vektörünün e_i taban vektörlerine göre koordinatları x_i'dir. Koordinatların vektörü, koordinat vektörünü veya n-demeti (x₁, x₂, …, x_n) oluşturur.

Her bir x_i koordinatı bir dizi parametre t ile parametrize edilebilir. Bir parametre x_i(t) kavisli bir 1D yolu tanımlarken, iki parametre x_i(t₁, t₂) kavisli bir 2D yüzeyi, üç parametre x_i(t₁, t₂, t₃) kavisli bir 3D uzay hacmini tanımlar ve bu böyle devam eder.

Bir B = {e₁, e₂, …, e_n} taban kümesinin lineer germesi, span(B) = R olarak gösterilen R konum uzayına eşittir.

Uygulamalar

Diferansiyel geometri

Ana madde: Diferansiyel geometri

Konum vektör alanları, sürekli ve türevlenebilir uzay eğrilerini tanımlamak için kullanılır; bu durumda bağımsız parametrenin zaman olması gerekmez, örneğin eğrinin yay uzunluğu olabilir.

Mekanik

Ana maddeler: Klasik mekanik, Analitik mekanik ve Hareket denklemleri

Herhangi bir hareket denkleminde, konum vektörü r(t) genellikle en çok aranan niceliktir çünkü bu fonksiyon bir parçacığın (yani bir noktasal kütlenin) hareketini, yani belirli bir t zamanında verilen bir koordinat sistemine göre yerini tanımlar. Hareketi konum cinsinden tanımlamak için her koordinat zamanla parametrize edilebilir; zamanın her ardışık değeri, koordinatlar tarafından verilen ardışık uzamsal konumlar dizisine karşılık geldiğinden, birçok ardışık konumun süreklilik limiti (continuum limit), parçacığın izlediği yoldur.

Tek boyut durumunda, konumun sadece bir bileşeni vardır, bu nedenle etkili bir şekilde skaler bir koordinata dönüşür. Bu, örneğin x yönünde veya radyal r yönünde bir vektör olabilir. Eşdeğer gösterimler şunları içerir:

$\mathbf {x} \equiv x\equiv x(t),\quad r\equiv r(t),\quad s\equiv s(t).$

Türevler

Klasik bir parçacığın kinematik nicelikleri: kütle m, konum r, hız v, ivme a

Zaman t'nin bir fonksiyonu olan bir konum vektörü r için, zaman türevleri t'ye göre hesaplanabilir. Bu türevler kinematik, kontrol teorisi, mühendislik ve diğer bilimlerin çalışılmasında yaygın bir kullanıma sahiptir.

Hız

$\mathbf {v} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}},$

burada dr, sonsuz küçük bir yer değiştirmedir.

İvme

$\mathbf {a} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{2}}}.$

Silkme

$\mathbf {j} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {a} }{\mathrm {d} t}}={\frac {\mathrm {d} ^{2}\mathbf {v} }{\mathrm {d} t^{2}}}={\frac {\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }{\mathrm {d} t^{3}}}.$

Konumun birinci, ikinci ve üçüncü türevi için bu isimler temel kinematikte yaygın olarak kullanılır. Buna ek olarak, daha yüksek dereceli türevler de benzer bir şekilde hesaplanabilir. Bu yüksek dereceli türevlerin çalışılması, orijinal yer değiştirme fonksiyonunun yaklaşımlarını iyileştirebilir. Yer değiştirme fonksiyonunu, mühendislik ve fizikte çeşitli analitik teknikleri mümkün kılan sonsuz bir dizinin toplamı olarak doğru bir şekilde temsil etmek için bu tür yüksek dereceli terimler gereklidir.

Ayrıca bakınız

• Koordinat sistemi

Kaynakça

• Keller, F. J., Gettys, W. E. et al. (1993). "Physics: Classical and modern" 2nd ed. McGraw Hill Publishing.