Kesirli Brown hareketi

Olasılık kuramında, kesirli Brown hareketi, Brown hareketinin bir genellemesidir. Klasik Brown hareketinin aksine, kesirli Brown hareketinde artımlar bağımsız olmak zorunda değildir; ancak, artımlar durağandır. Özüne benzerlik özelliği taşıdıklarından fraktal Brown hareketi adıyla da anılırlar. 1968 yılında Benoit Mandelbrot ve John W. Van Ness tarafından tanımlanmıştır.

Tanımı

Kesirli Brown hareketi sürekli zamanlı bir Gauss sürecidir. Daha bir matematiksel ifadeyle, H sayısı (0, 1) aralığında yer alan bir gerçel sayı olmak üzere,

• $X^{H}(0)=0$,
• Her $t\geq 0$ için, $E[X^{H}(t)]=0$,
• $E[X^{H}(t)X^{H}(s)]={\frac {1}{2}}(t^{2H}+s^{2H}-|t-s|^{2H})$

özelliklerini sağlayan bir $(X^{H}(t))_{t\geq 0}$ sürecine kesirli Brown hareketi adı verilir. Tanımdaki $H$ sayısına Hurst üsteli adı verilir. Tanımdaki Hurst üsteli kesirli Brown hareketinin ne gibi bir süreç olduğunu belirler:

• Eğer $H={\frac {1}{2}}$ ise, süreç bir Brown hareketi ya da Wiener sürecidir.
• Eğer $H>{\frac {1}{2}}$ ise, sürecin artımları pozitif ilintilidir.
• Eğer $H<{\frac {1}{2}}$ ise, sürecin artımları negatif ilintilidir.

Özellikleri

Kesirli Brown hareketi olan bir $(X^{H}(t))_{t\geq 0}$ süreci

• Özüne benzerdir; bir başka deyişle, her $c>0$ için $(X^{H}(ct))_{t\geq 0}$ ve $(c^{H}X^{H}(t))_{t\geq 0}$ süreçleri aynı olasılık dağılımına sahiptirler.
• Durağan artımlara sahiptir; tanımdaki üçüncü özellikten her $t,s\geq 0$ için

$E[(X^{H}(t)-X^{H}(s))^{2}]=|t-s|^{2H}$

olduğu elde edilir ve buradan durağanlık özelliğine kolaylıkla ulaşılabilir.

Dış bağlantılar

• Kesirli Brown hareketi üzerine bir ders (İngilizce)