Jackson eşitsizliği

Matematiğin bir alt dalı olan yaklaşıklama kuramında Jackson eşitsizliği ya da Jackson teoremi bir fonksiyonun cebirsel ya da trigonometrik polinomlarla yapılan en iyi yaklaşıklama hatasına bir kestirim veren eşitsizliktir. Eşitsizliğin değişik sürümlerinde bu hatanın kestirimi bir sabit ya da sözkonusu fonksiyonun süreklilik modülü ya da pürüzsüzlük modülü aracılığıyla ifade edilir. Bu eşitsizlik aracılığıyla bir fonksiyonun pürüzsüzlüğü arttıkça polinomlar tarafından yaklaşıklamasının daha iyi olduğu anlaşılır.

Eşitsizlik, sonucu 1911'de tezinde kanıtlayan Dunham Jackson'ın adını taşımaktadır. Teoremin ya da eşitsizliğin genellemeleri ve uzantıları Jackson tipi teoremler olarak adlandırılır. Jackson eşitsizliğinin tersi Bernşteyn teoremi aracılığıyla verilmektedir.

Eşitsizliğin ifadesi

Eşitsizliğin Jackson tarafından kanıtlanmış hâli şunu ifade eder: Bir $f:[0,2\pi ]\to \mathbb {C}$ fonksiyonu $r$ kere türevlenebilen ve

$\left|f^{(r)}(x)\right|\leq 1,\qquad x\in [0,2\pi ],$

özelliğini sağlayan bir periyodik fonksiyon ise, o zaman, her $n$ pozitif tam sayısı için derecesi en fazla $n-1$ olan bir $T_{n-1}$ trigonometrik polinomu vardır ve

$\left|f(x)-T_{n-1}(x)\right|\leq {\frac {C(r)}{n^{r}}},\qquad x\in [0,2\pi ]$

eşitsizliği sadece $r$ye bağlı olan bir $C(r)$ sayısı tarafından sağlanır.

Jackson'ın genelleştirmesi

Jackson, tezinde bu eşitsizliği şöyle genelleştirmiştir: Bir $f:[0,2\pi ]\to \mathbb {C}$ fonksiyonu $r$ kere türevlenebilen ve

$\left|f^{(r)}(x)\right|\leq 1,\qquad x\in [0,2\pi ],$

özelliğini sağlayan bir periyodik fonksiyon ise, o zaman, $\omega (\delta ,g)$ bir $g$ fonksiyonunun $\delta$ adımlı süreklilik modülü olmak üzere, her $n$ pozitif tam sayısı için derecesi en fazla $n$ olan bir $T_{n}$ trigonometrik polinomu aracılığıyla

$|f(x)-T_{n}(x)|\leq {\frac {C(r)\omega \left({\frac {1}{n}},f^{(r)}\right)}{n^{r}}},\qquad x\in [0,2\pi ]$

eşitsizliği sadece $r$ye bağlı olan bir $C(r)$ sayısı tarafından sağlanır.

Jackson'ın sonuçlarının daha genel hali

Daha önce ifade edilen sonuçların şöyle bir genelleştirmesi vardır: $f$ fonksiyonu $2\pi$-periyotlu sürekli bir fonksiyonsa, $\omega _{k}$ $k$ mertebeli pürüzsüzlük modülü olmak üzere, her $n$ doğal sayısı için

$|f(x)-T_{n}(x)|\leq c(k)\omega _{k}\left({\tfrac {1}{n}},f\right),\qquad x\in [0,2\pi ]$,

eşitsizliği sağlayan derecesi en fazla $n$ olan bir $T_{n}$ trigonometrik polinomu ve sadece $k\in \mathbb {N}$'ye bağlı $c(k)$ sabiti tarafından sağlanır.

$k=1$ durumu, Dunham Jackson tarafından ispatlanmıştır. Antoni Zygmund 1945te $k=2,\omega _{2}(t,f)\leq ct,t>0$ iken bir ispat vermiştir. Naum Akhiezer $k=2$ durumun 1956'da ispatlamıştır. $k>2$ durumu Sergey Steçkin tarafından 1967'de ispatlanmıştır.

Ahiezer-Krein-Favard sabiti

Jackson eşitsizliğindeki $C(r)$ sayısının en iyi ne olabileceği Akhiezer–Krein–Favard teoremi aracılığıyla verilir:

$C(r)={\frac {4}{\pi }}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k(r+1)}}{(2k+1)^{r+1}}}~.$

Buradaki, $C(r)$ sayısına ya da Akhiezer–Krein–Favard sabiti de denilir. Bu sabit adını Jean Favard, Naum Ahiezer ve Mark Krein'dan almaktadır. Favard sabiti $K_{r}$ olarak da gösterilir.

Landau-Kolmogorov eşitsizliğindeki en iyi kestirim sabitleri Favard sabitleri ile ifade edilir. Yine, periyodik mükemmel eklemli polinomların normlarını da ifade eder. Sabitin başlangıç değerleri $K_{0}=1$, $K_{1}={\frac {\pi }{2}}$, $K_{2}={\frac {\pi ^{2}}{8}}$, $K_{3}={\frac {\pi ^{3}}{24}}$, $K_{4}={\frac {5\pi ^{4}}{384}}$ ve $K_{5}={\frac {\pi ^{5}}{240}}$ olarak verilir.