Friedrichs eşitsizliği

Matematiğin bir alt dalı olan fonksiyonel analizde Friedrichs eşitsizliği bir fonksiyonun zayıf türevlerini ve bu fonksiyonun tanımlı olduğu bölgenin geometrisini kullanarak fonksiyonun L^p normuna sınır koyan bir teoremdir. Eşitsizlik, Kurt Friedrichs'in adını taşımaktadır.

Eşitsizliğin ifadesi

$\Omega$, Öklid uzayı $\mathbb {R} ^{n}$'de, çapı $d$ olan sınırlı bir altküme olsun. Sobolev uzayı $W_{0}^{k,p}(\Omega )$nın elemanı olan bir $u:\Omega \to \mathbb {R}$ fonksiyonu olsun. Diğer deyişle, $u\in W^{k,p}(\Omega )$ ve $u$'nun $\Omega$'nın sınırı $\partial \Omega$ üzerindeki izi 0 olsun. O zaman, $\|\cdot \|_{L^{p}(\Omega )}$ gösterimi L^p normu, α = (α₁, ..., α_n) çoklu indeksi için norm |α| = α₁ + ... + α_n ve son olarak, $D^{\alpha }u$ gösterimi $\mathrm {D} ^{\alpha }u={\frac {\partial ^{|\alpha |}u}{\partial _{x_{1}}^{\alpha _{1}}\cdots \partial _{x_{n}}^{\alpha _{n}}}}$ karışık kısmi türevi olmak üzere şu eşitsizlik sağlanır:

$$\|u\|_{L^{p}(\Omega )}\leq d^{k}\left(\sum _{|\alpha |=k}\|\mathrm {D} ^{\alpha }u\|_{L^{p}(\Omega )}^{p}\right)^{1/p}.$$

Ayrıca bakınız

• Poincaré eşitsizliği