Euler karakteristiği

Matematikte ve daha spesifik olarak cebirsel topoloji ve çokyüzlü kombinatorikte Euler karakteristiği (veya Euler sayısı veya Euler – Poincaré karakteristiği), nasıl olursa olsun topolojik uzayın şeklini veya yapısını tanımlayan bir sayı olan topolojik değişmezdir. Genellikle $\chi$ (Yunanca küçük harf chi) ile gösterilir.

Euler karakteristiği başlangıçta çokyüzlüler için tanımlanmış ve Platonik katıların sınıflandırılması da dahil olmak üzere çeşitli teoremleri kanıtlamak için kullanılmıştır. Platonik katılar için 1537'de Francesco Maurolico tarafından yayınlanmamış bir el yazmasında belirtilmiştir.^[1] Konsepte adını veren Leonhard Euler, bunu daha genel olarak dışbükey çokyüzlüler için tanıttı ancak bunun bir değişmez olduğunu kesin şekilde kanıtlayamadı. Modern matematikte, Euler karakteristiği homolojiden ve daha soyut olarak homolojik cebirden kaynaklanır.

Çokyüzlüler

Euler özelliği $\chi$ formülüne göre klasik olarak çokyüzlülerin yüzeyleri için tanımlanmıştır.

\chi =V-E+F

burada V, E ve F sırasıyla verilen çokyüzlüdeki köşelerin, kenarların ve yüzlerin sayısıdır. Herhangi bir dışbükey çokyüzlünün yüzeyi Euler karakteristiğine sahiptir.

V-E+F=2.

Leonhard Euler tarafından 1758 yılında ifade edilen bu denklem ^[2] Euler'in polihedron formülü olarak da bilinir.^[3] Kürenin Euler karakteristiğine karşılık gelir (yani χ = 2) ve aynı şekilde küresel çokyüzlüler için de geçerlidir. Tüm Platonik çokyüzlülerdeki formülün örnekleri aşağıda verilmiştir.

İsim	köşeler v	Kenarlar e	Yüzler F	Euler karakteristiği: V − E + F
Dörtyüzlü	4	6	4	2
Altı yüzlü veya küp	8	12	6	2
Oktahedron	6	12	8	2
Dodekahedron	20	30	12	2
İkosahedron	12	30	20	2

Dışbükey olmayan çokyüzlülerin yüzeyleri çeşitli Euler özelliklerine sahip olabilir:

İsim	köşeler V	Kenarlar E	Yüzler F	Euler karakteristiği: V − E + F
Tetrahemiheksahedron	6	12	7	1
oktahemioktahedron	12	24	12	0
Cubohemioctahedron	12	24	10	− 2
Küçük yıldız şeklindeki dodecahedron	12	30	12	− 6
Büyük yıldız şeklinde dodecahedron	20	30	12	2

Düzenli çokyüzlüler için Arthur Cayley, yoğunluk D, tepe şekli yoğunluğu d _v ve yüz yoğunluğunu kullanarak Euler formülünün değiştirilmiş bir biçimini türetmiştir. $d_{f}$ :

d_{v}V-E+d_{f}F=2D.

Bu sürüm hem dışbükey çokyüzlüler hem de dışbükey olmayan Kepler-Poinsot çokyüzlüler için geçerlidir.

Projektif çokyüzlülerin tümü, gerçek yansıtmalı düzlem gibi Euler karakteristiği 1'e sahipken, simit gibi toroidal çokyüzlülerin tüm yüzeyleri Euler karakteristiği 0'a sahiptir.

Kaynakça

^ Michael (2018). A History of Folding in Mathematics: Mathematizing the Margins. Science Networks. Historical Studies. 59. Birkhäuser. s. 71. doi:10.1007/978-3-319-72487-4. ISBN 978-3-319-72486-7.
^ Leonhard Euler (1 Ocak 1758). "Elementa doctrinae solidorum". Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae: 109-140. 4 Kasım 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi15 Haziran 2023.
^ Richeson 2008

Dış bağlantılar

Eric W. Weisstein, Euler characteristic (MathWorld)
Eric W. Weisstein, Polyhedral formula (MathWorld)
An animated version of a proof of Euler's formula using spherical geometry 3 Nisan 2023 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi..

[1] Michael (2018). A History of Folding in Mathematics: Mathematizing the Margins. Science Networks. Historical Studies. 59. Birkhäuser. s. 71. doi:10.1007/978-3-319-72487-4. ISBN 978-3-319-72486-7.

[2] Leonhard Euler (1 Ocak 1758). "Elementa doctrinae solidorum". Novi Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae: 109-140. 4 Kasım 2022 tarihinde kaynağından arşivlendi15 Haziran 2023.

[3] Richeson 2008

[1]

[2]

[3]