Dalga vektörü

Dalga vektörü, fizikte dalgayı ifade etmemize yardımcı olan vektördür. Herhangi bir vektör gibi, yöne ve büyüklüğe sahiptir. Büyüklüğü dalga sayısı ve açısal dalga sayısıdır (dalga boyu ile ters orantılıdır). Yönü ise genellikle dalga yayılımının yönüdür. İzafiyet kuramında, dalga vektörü, aynı zamanda dört vektör olarak tanımlanabilir.

Tanımları

Ne yazık ki dalga vektörünün, kendi büyüklüklerinde 2π faktörü ile ayrılan iki genel tanımı vardır. Bir tanımı fizik ve ilgili alanlarda tercih edilirken diğeri ise kristal bilimi ve ilgili alanlarda tercih edilir. Bunlara “fizik tanımı” ve “kristal bilimi tanımı” denir.

Fizik Tanımı

Mükemmel bir tek-boyutlu hareketli dalga denklemi aşağıdaki gibidir:

$\psi (x,t)=A\cos(kx-\omega t+\varphi )$

• x: yer • t: zaman • $\psi$: dalganın bozulması • A: dalganın genliği • $\varphi$: faz dengesi • $\omega$: dalganın açısal frekansı • $k$: dalga sayısı Bu dalga +x yönünde, $\omega /k$ hızıyla hareket etmektedir.

Kristal Bilimi Tanımı

Kristal biliminde, aynı dalgalar biraz farklı denklemler kullanılarak açıklanmıştır. Sırasıyla bir ve üç boyutlu dalgalar:

$\psi (x,t)=A\cos(2\pi (kx-\nu t)+\varphi )$

$\psi \left({\mathbf {r} },t\right)=A\cos \left(2\pi ({\mathbf {k} }\cdot {\mathbf {r} }-\nu t)+\varphi \right)$

Farklılıklar: • Açısal frekans yerine, frekans kullanılmıştır ($2\pi \nu =\omega$). Bu eşitlik Bu denklem için önemli değil, ama kristal biliminde yaygın bir uygulamadır. • Dalga sayısı ‘’k’’ ve vektör olan ‘’’k’’’ farklı şekillerde tanımlanmıştır. Burada, $k=|{\mathbf {k} }|=1/\lambda$ iken, fizik tanımında, $k=|{\mathbf {k} }|=2\pi /\lambda$ budur.

Dalga Vektörünün Yönü

Dalga vektörü noktaları "dalga yayılması yönünde" ayırt edilmelidir. "Dalga yayılımının yönü" bir dalganın enerji akışının ve küçük bir dalga paketinin hareket edeceği yöndür. Işık dalgaları için, ayrıca Poynting Vektörünün yönüdür. Dalga vektörü noktaları faz hızı yönündedir. Sabit fazın yüzeyinde, normal yönde, dalga vektörü noktaları, aynı zamanda dalganın önü olarak adlandırılır. Hava, herhangi bir gaz, sıvı ya da bazı katılar gibi kayıpsız eş yönlü bir ortam içinde, dalga vektörünün yönü dalga yayılma yönü ile tam olarak aynıdır. Homojen bir dalganın yüzeyinin büyüklüğü sabittir ve sabit bir faza sahiptir. Homojen olmayan dalgalar için bunlar söylenemez. Ancak, simetrik olmayan kristaldeki ışık dalgası ya da tortul kayadaki ses dalgası gibi eş yönlü olmayan ortamlarda dalga vektörü dalga yönüyle aynı olabilir.

Katı Hal Fiziğinde

Katı hal fiziğinde, kristalin içindeki bir elektronun “dalga vektörü” onun kuantum mekanik dalga fonksiyonudur. Bu elektron dalgaları sıradan sinüs dalgaları değildir, dalga vektörü bu kaplama dalga ile tanımlanır. Genellikle “fizik tanımı” kullanılır.

Özel Görelilikte

Tek renkli bir dalga ışını 4-vektör dalgası ile karakterize edilebilir.

$k^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)\,$

Daha da açık yazmak gerekirse,

$k^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},k_{x},k_{y},k_{z}\right)\,$ and

$k_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},-k_{x},-k_{y},-k_{z}\right).\,$

4-vektör dalgası, frekans ve 4-vektör dalgasının uzaysal bölümünün büyüklüğü arasında bir bağlantı verir:

$k^{\mu }k_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}\ =0$

4-vektör dalgası, dört ivme ile ilgidir.

$p^{\mu }=(E/c,p_{x},p_{y},p_{z})=(\hbar \omega /c,\hbar k_{x},\hbar k_{y},\hbar k_{z})=\hbar k^{\mu }$

Lorentz Dönüşümü

Dalga vektörünün Lorentz dönüşümü Doppler etksini elde etmek için tek yoldur. Lorentz matrisi:

$\Lambda ={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}$

Bir kaynak tarafından hızlı bir şekilde hareket eden ışık kaynağını, dünya çerçevesinde inceleyerek frekansını bulmak amacıyla, aşağıdaki gibi Lorentz dönüşümü uygulanır.

$k_{s}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }k_{\mathrm {obs} }^{\nu }\,$

İçinde sadece $\mu =0$ bulunan sonuçlara bakarsak:

$k_{s}^{0}=\Lambda _{0}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{0}+\Lambda _{1}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{1}+\Lambda _{2}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{2}+\Lambda _{3}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{3}\,$

${\frac {\omega _{s}}{c}}\,$	$=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma k_{\mathrm {obs} }^{1}\,$
	$\quad =\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}\cos \theta .\,$ Not: $\cos \theta \,$, $k^{1}$ ile $k^{0}$ arasındaki açının kosinüsüdür. Yani: ${\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta \cos \theta )}}\,$

Uzaklaşan Kaynak

Örnekte olduğu gibi kaynaktan uzaklaşan bir gözlemci için:

${\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1+\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}\,$

Kaynağa Doğru Hareket

${\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {\sqrt {1+\beta }}{\sqrt {1-\beta }}}\,$