Düzgün limit teoremi

Matematikte düzgün limit teoremi, sürekli fonksiyonlardan oluşan herhangi bir fonksiyon dizisinin düzgün limitinin yine sürekli fonksiyon olduğunu belirten önemli bir sonuçtur.

Teoremin ifadesi

$X$ topolojik uzay, $Y$ metrik uzay ve $f_{n}:X\to Y$ ise $f:X\to Y$ fonksiyonuna düzgün yakınsayan bir fonksiyon dizisi olsun. Düzgün limit teoremine göre, eğer dizideki $f_{n}$ fonksiyonlarından her biri sürekli ise, o zaman, $f$ fonksiyonu da süreklidir.

Teoremde düzgün yakınsaklık koşulu noktasal yakınsaklık ile değiştirildiğinde sonuç artık geçerli olmayacaktır. Örneğin, $X=[0,1]$, $Y=\mathbb {R}$ ve $f_{n}:X\to Y$ ise $f_{n}(x)=x^{n}$ olarak verilsin. O zaman, her $n$ için $f_{n}$ fonksiyonu süreklidir. Ancak, $[0,1)$ aralığından olan $x$ değerleri için limit fonksiyonu $0$ değeri alırken, $x=1$ değeri için limit fonksiyonu $1$ değeri alacaktır. Bu yüzden, limit fonksiyonu $x=1$ noktasında sürekli değildir.

Eğer düzgün yakınsaklık yerine noktasal yakınsaklık varsayılırsa, o zaman yeşil fonksiyonlar kırmızı ile gösterilen ve sürekli olmayan bir fonksiyona yakınsar. Bu durum yakınsaklık düzgün değilse ortaya çıkar.

Bir başka örnek ise yandaki şekilde verilmiştir: $X=[0,\pi ]$, $Y=\mathbb {[} 0,1]$ ve $f_{n}:X\to Y$ ise $f_{n}(x)=\sin ^{n}(x)$ olarak verilsin. O zaman, her $n$ için $f_{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=\sin ^{n}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=1$ olur. Ancak, diğer noktalar için (yâni, $x\neq {\frac {\pi }{2}}$ için), $\sin(x)<1$ olacaktır. Böylece, $x\neq {\frac {\pi }{2}}$ için, $\sin ^{n}(x)$ değerleri $0$'a yakınsayacaktır. O zaman, limit fonksiyonu, $x\neq {\frac {\pi }{2}}$ noktaları için $0$ olan, $x={\frac {\pi }{2}}$ noktasında ise $1$ değeri alan ve bu yüzden $x={\frac {\pi }{2}}$ noktasında sürekli olmayan bir fonksiyon olur.

Fonksiyon uzayları açısından bakılacak olursa, düzgün limit teoremi, topolojik uzay $X$ten metrik uzay $Y$ye tanımlanan tüm sürekli fonksiyonların uzayı olan $C(X,Y)$'nin düzgün metrik altında $Y^{X}$ uzayının kapalı bir altkümesi olduğunu söyler. Eğer, $Y$ tam bir metrik uzaysa, o zaman $C(X,Y)$ de tam bir metrik uzay olur. Dahası, $Y$ Banach uzayı ise, o zaman, $C(X,Y)$ uzayı düzgün norm altında Banach uzayı olur.

Teoremde, süreklilik ifadesi düzgün süreklilik ile değiştirildiğinde, düzgün limit teoremi yine geçerlidir. Diğer deyişle, $X$ ve $Y$ metrik uzaysa ve $f_{n}:X\to Y$ dizisi düzgün sürekli fonksiyonlardan oluşan ve bir $f$ fonksiyonuna düzgün yakınsayan bir fonksiyonlar dizisi ise, o zaman, $f$ de düzgün süreklidir.

Kanıt

$f$nin sürekliliğini kanıtlamak için, her $\varepsilon >0$ sayısı ve her $x\in X$ için, $x$'in bir $U$ komşuluğunu bulmalıyız; öyle ki

$d_{Y}(f(x),f(y))<\varepsilon ,\qquad \forall y\in U$

olsun. o zaman, keyfi bir $\varepsilon >0$ sayısı verilsin. Fonksiyon dizisinin düzgün yakınsak olduğu varsayıldığı için,

$d_{Y}(f_{N}(t),f(t))<{\frac {\varepsilon }{3}},\qquad \forall t\in X$

eşitsizliğini sağlayacak bir $N$ sayısı vardır. Ayrıca, fonksiyon dizisindeki fonksiyonların her biri sürekli olduğu için, her $x\in X$ için

$d_{Y}(f_{N}(x),f_{N}(y))<{\frac {\varepsilon }{3}},\qquad \forall y\in U$

eşitsizliğinin sağlandığı bir $U$ komşuluğu vardır. Son adım olarak, üçgen eşitsizliği kullanılarak

${\begin{aligned}d_{Y}(f(x),f(y))&\leq d_{Y}(f(x),f_{N}(x))+d_{Y}(f_{N}(x),f_{N}(y))+d_{Y}(f_{N}(y),f(y))\\&<{\frac {\varepsilon }{3}}+{\frac {\varepsilon }{3}}+{\frac {\varepsilon }{3}}=\varepsilon ,\qquad \forall y\in U\end{aligned}}$

elde edilir. Böylelikle, kanıtın en başında gösterilmek istenen eşitsizlik elde edilmiş olur. Bu yüzden, limit fonksiyonu $f$ süreklidir.

Karmaşık analizde düzgün limit teoremi

Karmaşık analizde, düzgün limit teoreminin varsayımlarının değiştirilmiş halleriyle görülen değişik çeşitlemeleri vardır.

Teorem.$\Omega$ karmaşık düzlemde bir bölge (açık ve bağlantılı) olsun. $f_{n}:\Omega \to \mathbb {C}$ fonksiyon dizisindeki her bir fonksiyon holomorf ise ve bu dizi $\Omega$nın her tıkız altkümesinde bir $f:\Omega \to \mathbb {C}$ fonksiyonuna düzgün yakınsıyorsa, o zaman $f$ de $\Omega$ üzerinde holomorf olur. Üstelik, bu fonksiyon dizisindeki fonksiyonların türevlerinden oluşan $(f'_{n})_{n=1}^{\infty }$ dizisi de $\Omega$nın her tıkız altkümesinde $f':\Omega \to \mathbb {C}$ fonksiyonuna düzgün yakınsar.

Teorem.$\Omega$ karmaşık düzlemde bir bölge (açık ve bağlantılı) olsun. $f_{n}:\Omega \to \mathbb {C}$ fonksiyon dizisindeki her bir fonksiyon yalınkat ise ve bu dizi $\Omega$nın her tıkız altkümesinde bir $f:\Omega \to \mathbb {C}$ fonksiyonuna düzgün yakınsıyorsa, o zaman $f$ de $\Omega$ üzerinde holomorf olur. Üstelik, $f:\Omega \to \mathbb {C}$ fonksiyonu ya yalınkattır ya da sabittir.

Kaynakça

• E. M. Stein, R. Shakarchi (2003). Complex Analysis (Princeton Lectures in Analysis, No. 2), Princeton University Press.
• E. C. Titchmarsh (1939). The Theory of Functions, 2002 Reprint, Oxford Science Publications.