Düğüm teorisi

Düğüm teorisi Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss düğüm kuramına ilişkin çalışmalar yapmış, ama bu konuda herhangi bir yapıt yayımlamamıştı. 19.yüzyılda Alman matematikçi Gauss ile başlayan düğüm teorisi ve 3-boyutlu manifoldlarla ilgili çalışmalar gelişerek halen devam etmektedir. Düğüm kuramı çoğunlukla, bir topolojik uzayın bir başka topolojik uzayın içine yerleştirilmesi problemleri gibi özel uygulamaları gerektiren durumlarda kullanılır.

Matematiksel Açıklama

3-boyutlu küre S³ = R³ ∪ {∞} ile gösterilsin. S³ içinde S¹ = {(x,y,z) : x² + y² = 1, z = 0 çemberi ile topolojik eş yapılı (homeomorf) olan herhangi bir kümeye bir düğüm denir. Yani düğüm, uzayda basit kapalı bir eğridir. Diğer bir ifadeyle düğüm, birim çemberin uzay içindeki konumudur.

Düğüm kuramı ise, matematikte, üç boyutlu kapalı eğrilerin araştırılmasına yönelik kuramdır. Bu tür eğriler, ilmik atıldıktan sonra uçları birleştirilen herhangi bir ip parçasına benzetilebilir. Tek bir devreye karşılık gelen düğümün topolojik eşdeğeri çemberdir. Ama çemberle özdeş değildir, çünkü düğüm, bir ya da daha çok noktada kendi içerisinden geçirilmedikçe çember biçimine dönüştürülemez. Bu durum ise, düğümün iki boyutlu grafiğinde, eğrinin kendisiyle kesişmesi demektir. En basit düğümlerde, bu türden üç kesişme bulunur; bu nedenle düğüm, üç basamaklı olarak kabul edilir. En basit türden düğümün bile, birbirine dönüştürülemeyen iki yapılandırması vardır. Basamak yükseldikçe belirgin düğüm sayısı da hızla artar, ama 20. yüzyılın ortalarına değin, belirli bir basamakta elde edilebile­cek düğüm sayısının hesaplanmasını olanak­lı kılan herhangi bir yöntem bulunamadı. Öte yandan, yüksek basamaklardan bazı düğümlerin, daha düşük basamaktan düğümlerin birleşimi biçiminde ifade edilebileceği gösterildi. Örneğin, altıncı basamaktan düğümler olan camadan ve acemi bağlan, yonca yaprağı biçimindeki iki düğüme indirgenebilir. Çözülemeyen düğümlere ise asal düğüm denir.