Collatz sanısı

Collatz sanısı, Lothar Collatz tarafından ortaya atılan, 1'den büyük tüm doğal sayıların 1'e indirebildiğini anlatan bir sanıdır. Collatz sanısı matematikteki en ünlü çözülmemiş problemlerden biridir ve 3n + 1 problemi (veya varsayımı), Ulam varsayımı (Stanislaw Ulam'dan sonra), Kakutani problemi (Shizuo Kakutani'den sonra), Thwaites varsayımı (Bryan Thwaites'den sonra), Hasse algoritması (Helmut Hasse'den sonra) veya Syracuse problemi (Syracuse Üniversitesi'nden sonra) olarak da bilinir. Bu önerme, iki basit aritmetik işlemi tekrar ederek her pozitif tam sayının eninde sonunda 1'e dönüşüp dönüşmeyeceğini sorgular. Bu önerme, tam sayılar dizileriyle ilgilidir ve her terim, önceki terimden şu şekilde elde edilir: Eğer önceki terim çift ise, bir sonraki terim önceki terimin yarısı olur. Eğer önceki terim tek ise, sonraki terim önceki terimin 3 katı artı 1'dir. Sanı, diziyi başlatmak için hangi pozitif tam sayı seçilirse seçilsin, bu dizilerin her zaman 1'e ulaştığıdır. Sanının 2,36×10²¹'e kadar tüm pozitif tam sayılar için geçerli olduğu gösterilmiştir, ancak genel bir ispat bulunamamıştır.

Adını, doktorasını aldıktan iki yıl sonra 1937'de bu fikri ortaya atan matematikçi Lothar Collatz'dan almıştır. İlgili sayı dizisi bazen dolu taşı dizisi, dolu taşı sayıları veya dolu taşı rakamları (değerler genellikle bir buluttaki dolu taşları gibi çoklu iniş ve çıkışlara tabi olduğu için) veya harikulade sayılar olarak adlandırılır.

Paul Erdős Collatz varsayımı hakkında “Matematik bu tür problemler için hazır olmayabilir." ifadesinde bulunmuştur. Jeffrey Lagarias 2010 yılında Collatz varsayımının ‘günümüz matematiğinin tamamen dışında, olağanüstü zor bir problem’ olduğunu belirtmiştir.[8] Bununla birlikte, Collatz varsayımının kendisi açık kalsa da, problemi çözme çabaları yeni tekniklere ve birçok kısmi sonuca yol açmıştır.

Problemin tanımı

Collatz sanısının kuralları şudur; şağıdaki işlemi herhangi bir pozitif tam sayı üzerinde ele alalım:

• Eğer sayı çift ise ikiye bölün.
• Eğer sayı tek ise üç katına çıkarıp bir ekleyin.

Bu sanıya göre tüm sayılar, 1'e kolayca indirilebilir. Bu sayının büyüklüğüyle alakalı değildir. Modüler aritmetik gösterimde ∫ fonksiyonunu aşağıdaki gibi tanımlayalım:

$f(n)={\begin{cases}{\frac {n}{2}}&{\mbox{if }}n\equiv 0{\pmod {2}}\\3n+1&{\mbox{if }}n\equiv 1{\pmod {2}}\end{cases}}$

Örneğin;

• "x=4" diyelim. O halde dizimiz; 4-2-1 olur.
• "x=7" diyelim. O halde dizimiz; 7-22-11-34-17-52-26-13-40-20-10-5-16-8-4-2-1 olur. Bu sayı kuramında 7'nin vardığı en büyük sayı 52'dir.