Casimir değişmezi

Matematikte, bir Casimir ögesi (ayrıca Casimir değişmezi veya Casimir operatörü olarak bilinir), merkez bir Lie cebirinin evrensel kapsayıcı cebir'inin merkezinin bir seçkin ögesidir. Bir prototipik örnek kare açısal momentum operatörü'dür, Bu üç boyutlu döndürme grubu'nun bir Casimir ögesidir.

Casimir ögesi Hendrik Casimir anısınadır, 1931 yılında katı cisim dinamiklerinin tanımı içinde belirtimiştir.

Tanım

Varsayalımki bu ${\mathfrak {g}}$ bir n−boyutlu yarıbasit Lie cebiridir. ${\mathfrak {g}}$'nin herhangi tabanı

$\{X_{i}\}_{i=1}^{n}$ ve

$\{X^{i}\}_{i=1}^{n}$

yukardaki

${\mathfrak {g}}$ üzerinde sabit bir değişmezlik çiftdoğrusal form (yani Killing form) için sırasıyla ${\mathfrak {g}}$'nin çift tabanı olsun.$\Omega$ Casimir ögesi, $U({\mathfrak {g}})$ evrensel kapsayıcı cebirin bir ögesi

$\Omega =\sum _{i=1}^{n}X_{i}X^{i}.$

formülü ile veriliyor Casimir elemanın tanımı Lie cebir temelinde belirli bir seçimi işaret etmesine rağmen, bu kolayca göstermektedir ki elde edilen öğe Ω'dur.Bu seçim bağımsızdır. Dahası, çiftdoğrusal formun değişmezlik tanımı içinde kullanılan ifade bu Casimir ögesi ile Lie cebri ${\mathfrak {g}}$ nin bütün ögeleri ile sırabağımsız ve dolayısıyla evrensel kuşatıcı cebir U(${\mathfrak {g}}$ ) nin merkezinde yer almaktadir

${\mathfrak {g}}$ bir vektör alanı V nin herhangi bir temsili ρ önüne alındığında, muhtemelen sonsuz boyutlu, gelen Casimir değişmez ρ (Ω) 'dir, Formül tarafından verilen lineer operatör V

$\rho (\Omega )=\sum _{i=1}^{n}\rho (X_{i})\rho (X^{i}).$

dir.Diferansiyel geometri ve global analiz içinde önemli bir rol oynayan yapının özel bir durumudur.Varsayalımki bir bağlantılı Lie grubu G ile Lie cebri ${\mathfrak {g}}$ bir diferensiyellenebilir manifold M olarak hareket ediyor,${\mathfrak {g}}$ nin ögeleri ise birinci dereceden diferansiyel operatörler olarak M tarafından gösteriliyor. Bu gösterim ρ düzgün fonksiyonlar olarak M 'in uzayıdır. Bu durum içinde Casimir değişmezi G–değişmez ikinci dereceden diferansiyel operatörü yukarıda formülde M olarak tanımlanmıştır.

yaygın Fredholm teorisi pseudo-diferansiyel operatörler çalışmada meydana gelen daha genel Casimir değişmezleri da tanımlanabilir,

Özellikler

Casimir operatörü Lie cebrinin evrensel kapsayıcı cebir'inin merkez'inin seçkin bir ögesidir.Diğer bir deyişle, o sırabağımsız Lie cebirinin tüm üreteçler ile bütün diferansiyel operatörlerin cebrinin bir üyesidir

Evrensel kapsayıcı cebirin merkezinin bağımsız ögelerinin sayısı bir yarıyalın Lie cebri'nin durumu içindeki rank gibidir, verilen Casimir operatörü Laplasiyen'in kavramı olarak bir genel yarıyalın Lie grubu; ancak sayımının bu yolu rank > 1için Laplasiyen'in hiçbir eşsiz analogu olamayacağını gösteriyor.

Cebrin içindeki evrensel kapsayıcı cebir topluluğu ile bütün diğer ögelerin merkezinin herhangi üyesi tarafından tanımlanıyor. Schur Lemması ile, Lie cebrinin herhangi indirgenemeyen gösterimi içinde, Casimir operator böylece eş orantılıdır. Bu orantılığın sabiti Lie cebrinin sınıflandırılmış gösteriminde kullanılabilir (ve bundan dolayı, o Lie grubu gibidir).Fizik kütle ve spin bu sabitlerin örneğidir, yüzeysel olarak, topolojik kuantum sayıları formunda bir istisnayı oluşturan bu desenler; derin teoriler bu aynı olayın iki yönü olduğunu işaret ediyor olmasına rağmen kuantum mekaniği içinde birçok diğer kuantum sayıları olarak bulunur.

Örnekler: so(3)

so(3) Lie cebri SO(3)'ün Lie cebridir, döndürme grubu için üç-boyutlu Öklid uzayıki o rank 1'in yalınıdır ve böylece o bir tekil bağımsız Casimir'dir.Killing form için döndürme grubu sadece Kronecker delta'dır, ve böylece Casimir değişmezi L_x, L_y, L_z cebrinin üreteçlerin karelerinin basit toplamıdır. Yani, su Casimir değişmezini verir;

$L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}.$

bir indirgenemeyen gösterim içinde, Casimir operatör ifadesinin değişmezi cebrin tanıtım ögesi e nin bir çokluğu, şöyle ki

$L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=\ell (\ell +1)e.$

kuantum mekanigi'nde, skaler değer ℓ toplam açısal momentum'unu ifade eder. Sonlu-boyutlu matris değerli için döndürme gruplarının gösterimleri,ℓ her zaman tam sayı değeri olarak alınır (bozonik gösterimler için) veya (fermiyonik gösterimler için yarı-tam sayı değeridir). ℓ'nin bir verilen bir değeri için, matris gösterimi (2ℓ + 1)–boyutludur. Böylece, örneğin, üç-boyutlu gösterim için so(3) karşılığı ℓ = 1 ve üreteçler tarafından verilen

$L_{x}={\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\end{pmatrix}},\quad L_{y}={\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\end{pmatrix}},\quad L_{z}={\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}}.$

kuadratik Casimir değişmezi ise

$L^{2}=L_{x}^{2}+L_{y}^{2}+L_{z}^{2}=2{\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

ℓ(ℓ + 1) = 2 olur ise ℓ = 1. Benzer şekilde, iki boyutlu gösterim Pauli matrisleri tarafından verilen bir taban, Spin ½'nin karşılığıdır.

Özdeğerler

Verilen Ω kapsayıcı cebir içinde merkezdir, bu bir skaler tarafından basit modüller üzerindeki hareket, diyelimki $\langle ,\rangle$ olsun herhangi çiftdoğrusal simetrik non-dejenere olmayan formunu, biz Ω olarak tanımlıyoruz. Diyelimki L(λ), λ agirliginın sonlu boyutlu yüksek ağırlık modülü olsun, o zaman Casimir ögesi Ω nìn üzerindeki hareketleri olarak L(λ) sabiti tarafından $\langle \lambda ,\lambda +2\rho \rangle ,$ yardımıyla ρ ağırlıgi pozitif kökler yarı toplamı tarafından tanımlanır.

Ayrıca bakınız

• Harish-Chandra eşyapısı
• Pauli-Lubanski pseudovektörü

Konuyla ilgili yayınlar

• Humphreys, James E. (1978). Introduction to Lie Algebras and Representation Theory. Graduate Texts in Mathematics. 9 (Second printing, revised bas.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90053-5. 
• Jacobson, Nathan (1979). Lie algebras. Dover Publications. ss. 243-249. ISBN 0-486-63832-4.