Blaschke çarpımı

Matematiğin bir alt dalı olan karmaşık analizde Blaschke çarpımı, açık birim dairede bütün sıfırlarının önceden belirli (sonlu bir $\{a_{n}\}_{n=0}^{k}$ veya sonsuz bir $\{a_{n}\}_{n=0}^{\infty }$ ) bir karmaşık dizinin elemanlarında olması için oluşturulmuş sınırlı, holomorf bir fonksiyondur.

Blaschke çarpımları 1915 yılında Wilhelm Blaschke tarafından ortaya koyulmuştur. Hardy uzaylarıyla yakından ilişkilidirler.

Tanım

Yukarıdaki verilmiş, elemanlanları, a₀, a₁, ... olan bir diziye eğer

$\sum _{n}(1-|a_{n}|)$

toplamı yakınsak ise Blaschke koşulunu sağlar denilir. Blaschke koşulunu sağlayan bir dizi verilmiş olsun. O zaman, blaschke çarpımı ise

$B(z)=\prod _{n}B(a_{n},z)$

şeklinde tanımlanır. Burada çarpım terimleri olan $B(a,z)$ ler ise a ≠ 0 koşuluyla

$B(a_{n},z)={\frac {|a_{n}|}{a_{n}}}{\frac {z-a_{n}}{1-{\overline {a_{n}}}z}}$

şeklinde tanımlanır. a = 0 olduğunda ise B(0,z) = z alınır.

B(z), yani Blaschke çarpımı, birim daire üzerinde holomorftur ve sadece a_n üzerinde sıfır değerini almaktadır. Yukarıda verilen yakınsaklık koşulunu sağlayan dizilere Blaschke dizisi denmektedir.

Szegő teoremi

Gábor Szegő'nün bir teoremi ise şunu ifade etmektedir: Eğer $f\in H^{1}$ ise ve f de her yerde 0'a eşit olan bir fonksiyon değilse (yani 0 fonksiyonu değilse), o zaman f 'nin sıfırları (yani sıfır değerini aldığı noktalar) Blaschke koşulunu sağlar.

Sonlu Blaschke çarpımları

Sonlu Blaschke çarpımlarının birim daire üzerinde holomorf olması şu şekilde anlatılabilir: f birim daire üzerinde holomorf olan, birim dairenin kapanışına (yani kapalı birim daireye) sürekli bir şekilde devam ettirilebilen ve aynı zamanda da bu devamı birim çemberi birim çembere gönderen bir fonksiyon olsun. O zaman, ƒ sonlu bir Blaschke çarpımına eşittir:

$B(z)=\zeta \prod _{i=1}^{n}\left({{z-a_{i}} \over {1-{\overline {a_{i}}}z}}\right)^{m_{i}}$

Burada ζ birim çember üzerinde bir noktayı, m_i ise ƒ'nin a_i, |a_i| < 1 noktasındaki sıfırının derecesini göstermektedir. Özel olarak, ƒ yukarıdaki gibiyse ve birim çemberin içinde kalan bölgede sıfırı yoksa, o zaman sabit fonksiyondur. Bu özel sonuç, harmonik fonkiyonların maksimum ilkesi log(|ƒ(z)|) fonksiyonuna uygulanarak gösterilebilir.

Ayrıca bakınız

• Hardy uzayı
• Weierstrass çarpımı

Kaynakça

• Peter Colwell, Blaschke Products — Bounded Analytic Functions (1985), University of Michigan Press, Ann Arbor. ISBN 0-472-10065-3
• Tamrazov, P.M. (2001), "Blaschke çarpımı", Hazewinkel, Michiel (Ed.), Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1556080104