Bihari-LaSalle eşitsizliği

Matematikte Bihari-LaSalle eşitsizliği Grönwall önsavının doğrusal olmayan bir genelleştirmesidir. Eşitsizlik, Amerikalı matematikçi Joseph P. LaSalle ve Macar matematikçi Imre Bihari'nin adlarını taşımaktadır.

Eşitsizliğin ifadesi

$u$, $f$ ve $w$ kapalı yarı-doğru $[0,\infty )$ üzerinde tanımlı sürekli fonksiyon olsunlar. Ayrıca,

1. $u$ ve $f$ $[0,\infty )$ üzerinde negatif olmasın
2. $w$ $[0,\infty )$ üzerinde azalmayan fonksiyon olsun ve $(0,\infty )$ üzerinde pozitif olsun.
3. Son olarak, negatif olmayan bir $\alpha$ sayısı için aşağıdaki şu integral eşitsizliği sağlansın

$u(t)\leq \alpha +\int _{0}^{t}f(s)\,w(u(s))\,ds,\qquad t\in [0,\infty ),$

Bir $G:[0,\infty )\to \mathbb {R}$ fonksiyonu

$G(x)=\int _{x_{0}}^{x}{\frac {dy}{w(y)}},\qquad x\geq 0,\,x_{0}>0,$

şeklinde tanımlansın ve $G^{-1}$, $G$'nin ters fonksiyonu olmak üzere

$G(\alpha )+\int _{0}^{t}\,f(s)\,ds\in \operatorname {Dom} (G^{-1}),\qquad \forall \,t\in [0,T].$

olacak şekilde bir $T$ seçilsin. O zaman, her $t\in [0,T]$ için

$u(t)\leq G^{-1}\left(G(\alpha )+\int _{0}^{t}\,f(s)\,ds\right)$

eşitsizliği sağlanır.