Asal omega fonksiyonu

Sayılar teorisi'nde asal omega fonksiyonları $\omega (n)$ ve $\Omega (n)$, $n$ doğal sayısının asal çarpanlarının sayısını hesaplamak için kullanılır. $\omega (n)$ (küçük omega) fonksiyonu $n$ doğal sayısının birbirinden farklı asal çarpanlarının sayısını hesaplarken $\Omega (n)$ (büyük omega) fonksiyonu sayının toplam asal çarpan sayısını hesaplar. Yani birbirinden farklı $p_{i}(1\leq i\leq k)$ asal sayıları için $n=p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}...p_{k}^{\alpha _{k}}$ ise $\omega (n)=k$ ve $\Omega (n)=\alpha _{1}+...+\alpha _{k}$ olur.

Özellikler ve ilişkiler

$\omega (n)=\sum _{p\vert n}{1}$

Eğer $p$, $n$'yi en az bir kere bölüyorsa $\omega (n)$'de $p$ sadece bir kere sayılır. Örneğin: $\omega (63)=\omega (3^{2}7)=1+1=2$.

$\Omega (n)=\sum _{p^{\alpha }\vert n}{1}=\sum _{p^{\alpha }\parallel n}{\alpha }$

Eğer $p^{\alpha }\parallel n$ yani $p$, $n$'yi tam olarak $\alpha$ kez bölüyor ise $\Omega (n)$'de $p^{\alpha }\parallel n$ sağlayan $\alpha$ doğal sayıları toplanır. Örneğin: $\Omega (200)=\Omega (2^{3}5^{2})=3+2=5$.

$\Omega (n)\geq \omega (n)$

Eğer $\Omega (n)=\omega (n)$ ise $n$, 1 dışında herhangi bir tam sayının karesine bölünmez. Bu eşitlik sağlanırsa Möbius fonksiyonu bu şekilde yazılabilir:

$\mu (n)=(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}$

$\Omega (n)=1$ ise $n$ bir asal sayıdır.

Karmaşık düzleme devamlılık

$\omega (n)$ fonksiyonunun her yerde analitik olmayan bir devamlılığı bulundu:

$\omega (z)=\log _{2}\left(\sum _{x=1}^{\lceil Re(z)\rceil }\operatorname {sinc} \left(\prod _{y=1}^{\lceil Re(z)\rceil +1}\left(x^{2}+x-yz\right)\right)\right)$

Not: Burada $\operatorname {sinc} (x)$, ${\frac {\sin(\pi x)}{\pi x}}$'i ifade etmektedir.

Dirichlet serileri

$\omega (n)$'yi ve Riemann zeta fonksiyonu'nu içeren bir Dirichlet serisi bu şekilde verilmiştir:

$\sum _{n=1}^{\infty }{2^{\omega (n)}n^{-s}}=\sum _{n=1}^{\infty }{n^{-s}}\sum _{n=1}^{\infty }{\mu ^{2}(n)n^{-s}}={\frac {\zeta ^{2}(n)}{\zeta (2n)}},\Re (s)>1$