Arşimet dışı geometri

Matematikte Arşimet dışı geometri, Arşimet aksiyomunun reddedildiği geometri biçimlerinin adıdır.^[1] Dehn düzlemi bu geometrilerin bir örneğidir. Bu örnekten de anlaşılabileceği üzere, Arşimet dışı geometriler Öklid geometrisinden önemli ölçüde farklı özelliklere sahip olabilir.

Bu terim, Arşimet özelliğinin iki anlamından belli birini (sıralama ya da büyüklük) ihlal eden cisimler üzerine kurulan geometrilere atıfta bulunularak iki farklı anlamda kullanılabilir.

Arşimet dışı sıralı bir cisim üzerinde geometri

Terimin ilk anlamı, Arşimet dışı sıralı cisimler üzerine kurulan geometrileri kapsar. Örneğin, yukarıda bahsedilen Dehn düzlemi, rasyonel fonksiyonların cismine dayalı olarak belli bir Arşimet dışı sıralı cismin sonlu kısmının kendisiyle çarpımını alır. Bu geometri, Öklid geometrisinden önemli farklılıklar gösterir. Örneğin, düzlemdeki belli bir noktadan geçen ve belli bir doğruya paralel olan sonsuz çoklukta doğru vardır - bu nedenle paralellik aksiyomu geçersiz olur - ancak bir üçgenin açılarının toplamı hâlâ bir doğru açıdır.^[2]

Sezgisel olarak, böyle bir uzayda, bir doğru üzerindeki noktalar ile gerçek sayıların bir alt kümesi arasında birebir eşleme kurulamaz ve "sonsuz" veya "sonsuz küçük" uzunlukta doğru parçaları bulunur.

Arşimet dışı ağırlıklı bir cisim üzerinde geometri

Terimin ikinci anlamı, Arşimet dışı ağırlıklı cisimler veya ultrametrik uzaylar üzerine kurulan metrik geometrileri kapsar.^[3] Böyle bir uzayda, Öklid geometrisiyle daha da fazla çelişki ortaya çıkar. Örneğin, tüm üçgenler ikizkenardır ve üst üste binen içi dolu küreler iç içedir. P-sel sayılar bu uzayların bir örneğidir.

Sezgisel olarak, böyle bir uzayda uzunluk ölçüleri "toplanma" veya "üst üste binme" konusunda başarısız olur.

Kaynaklar

^ Robin Hartshorne, Geometry: Euclid and beyond (2000), p. 158.
^ The foundations of geometry (PDF), The Open Court Publishing Co., La Salle, Ill., 1902, 26 Ekim 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF)14 Ekim 2021
^ Conrad, B. "Several approaches to non-archimedean geometry. In p-adic Geometry (Lectures from the 2007 Arizona Winter School). AMS University Lecture Series." Amer. Math. Soc., Providence, RI 41 (2008): 78.

[1] Robin Hartshorne, Geometry: Euclid and beyond (2000), p. 158.

[2] The foundations of geometry (PDF), The Open Court Publishing Co., La Salle, Ill., 1902, 26 Ekim 2021 tarihinde kaynağından arşivlendi (PDF)14 Ekim 2021

[3] Conrad, B. "Several approaches to non-archimedean geometry. In p-adic Geometry (Lectures from the 2007 Arizona Winter School). AMS University Lecture Series." Amer. Math. Soc., Providence, RI 41 (2008): 78.

[1]

[2]

[3]