Abel eşitsizliği

Matematikte Abel eşitsizliği özel bir durumda iki vektörün iç çarpımının mutlak değeri için basit bir kestirim veren önemli bir eşitsizliktir. Eşitsizlik Niels Henrik Abel'in adını taşımaktatdır.

Eşitsizliğin ifadesi

{a₁, a₂,...} gerçel sayılardan oluşan ve artmayan ya da azalmayan bir dizi olsun. {b₁, b₂,...} sayı dizisi ise gerçel ya da karmaşık sayılardan oluşsun.

$B_{k}=b_{1}+\cdots +b_{k}$

olmak üzere,

• {a_n} azalmayan ise

$\left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right|\leq \operatorname {max} _{k=1,\dots ,n}|B_{k}|(|a_{n}|+a_{n}-a_{1}),$

• {a_n} artmayan ise

$\left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right|\leq \operatorname {max} _{k=1,\dots ,n}|B_{k}|(|a_{n}|-a_{n}+a_{1}),$

eşitsizlikleri vardır.

Özellikle, {a_n} dizisi artmayan ve negatif olmayan bir sayı dizisi ise,

$\left|\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}\right|\leq \operatorname {max} _{k=1,\dots ,n}|B_{k}|a_{1},$

eşitsizliği vardır.

Abel dönüşümü ile bağlantısı

Abel eşitsizliği, kısmi integral almanın ayrık versiyonu olan Abel dönüşümünden kolayca çıkar:
{a₁, a₂, ...} ve {b₁, b₂, ...} sayı dizileri ise gerçel ya da karmaşık sayılardan oluşuyorsa

$\sum _{k=1}^{n}a_{k}b_{k}=a_{n}B_{n}-\sum _{k=1}^{n-1}B_{k}(a_{k+1}-a_{k}).$

eşitliği vardır.