İngiliz bayrağı teoremi

İngiliz bayrağı teoremine göre, kırmızı kareler, mavi karelerle aynı toplam alana sahiptir.

Uzayda İngiliz bayrağı teoremi, kırmızı kareler, mavi karelerle aynı toplam alana sahiptir.

Öklid geometrisinde, İngiliz bayrağı teoremi, $ABCD$ dikdörtgeni içinde bir $P$ noktası seçilirse, $P$'den dikdörtgenin iki karşıt köşesine olan Öklid mesafelerinin karelerinin toplamının, diğer iki karşıt köşenin toplamına eşit olduğunu söyler. Denklem olarak aşağıdaki şekilde gösterilir:

$AP^{2}+CP^{2}=BP^{2}+DP^{2}.\,$

Teorem ayrıca dikdörtgenin dışındaki noktalar için ve daha genel olarak Öklid uzayındaki bir noktadan uzaya gömülü bir dikdörtgenin köşelerine kadar olan mesafeler için de geçerlidir. Daha genel olarak, bir $P$ noktasından paralelkenarın iki karşıt köşesine kadar olan uzaklıkların karelerinin toplamı karşılaştırılırsa, iki toplam genel olarak eşit olmayacak, ancak iki toplamın farkı $P$ noktasının seçimine değil yalnızca paralelkenarın şekline bağlı olacaktır.

Teorem, Pisagor teoreminin bir genellemesi olarak da düşünülebilir. $P$ noktasını dikdörtgenin dört köşesinden herhangi birine yerleştirmek, dikdörtgenin köşegeninin karesini, Pisagor teoremi olan dikdörtgenin genişliğinin ve uzunluğunun karelerinin toplamına eşit olarak verir.

Teoremin ispatı

Kanıt için çizim

Şekilde gösterildiği gibi, $AB$, $BC$, $CD$ ve $AD$ kenarlarıyla sırasıyla $W$, $X$, $Y$ ve $Z$ noktalarında birleşen dik çizgileri $P$ noktasından dikdörtgenin kenarlarına çizin; bu dört nokta $W$, $X$, $Y$ ve $Z$, bir ortodiyagonal dörtgen köşelerini oluşturur. Pisagor teoremini $\triangle AWP$ dik üçgenine uygulayarak ve $WP=AZ$ olduğunu göz önünde bulundurarak,

• $AP^{2}=AW^{2}+WP^{2}=AW^{2}+AZ^{2}$

bulunur ve benzer bir argüman ile $P$'den diğer üç köşeye olan mesafelerin uzunluklarının kareleri şu şekilde hesaplanabilir:

• $PC^{2}=WB^{2}+ZD^{2}$,
• $BP^{2}=WB^{2}+AZ^{2}$ve
• $PD^{2}=ZD^{2}+AW^{2}$.

Bu nedenle:

${\begin{aligned}AP^{2}+PC^{2}&=\left(AW^{2}+AZ^{2}\right)+\left(WB^{2}+ZD^{2}\right)\\[4pt]&=\left(WB^{2}+AZ^{2}\right)+\left(ZD^{2}+AW^{2}\right)\\[4pt]&=BP^{2}+PD^{2}\end{aligned}}$

İsimlendirme

Birleşik Krallık bayrağı.

Bu teorem ismini, $P$'den dikdörtgenin köşelerine doğru olan doğru parçaları çizildiğinde, ispatta kullanılan dikey çizgilerle birlikte, tamamlanan şeklin bir şekilde Birleşik Krallık Bayrağına benzemesinden alır.

Konuyla ilgili yayınlar

• Nguyen Minh Ha, Dao Thanh Oai: İngiliz bayrağı teoreminin ilginç bir uygulaması 12 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. . Global Journal of Advanced Research on Classical and Modern Geometries, Cilt 4 (2015), sayı 1, s. 31-34.
• Martin Gardner, Dana Richards (ed.): Kısa Bulmacalar ve Sorunlar Devasa Kitabı. WW Norton, 2006,978-0-393-06114-7, s. 147, 159 (problem 6.16)
• Carl Joshua Quines, (December 4, 2018), Obscure geometry theorems, Makale 2 Mart 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Ananth Shyamal, Divya Shyamal, Kevin Yang ve Reece Yang, (2020), Iowa City Math Circle Handouts- Quadrilaterals, s. 7, Makale 27 Ekim 2020 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.

Dış bağlantılar

• Geogebra - British flag theorem 26 Şubat 2021 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Artofproblemsolving.com'da İngiliz Bayrak Teoremi 23 Aralık 2018 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• The British Flag Theorem and Viviani’s Theorem
• Microsoft'un Dikdörtgen Köşeler Mülakat Sorusunu Çözebilir misiniz? 17 Nisan 2019 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. (video, 5:41 dk.)
• Genius Tutorials - BRITISH FLAG THEOREM (video, 4:47 dk)