İkiz asallar

Çözülememiş matematik problemi:

Sonsuz sayıda ikiz asal sayı mı vardır?

(Diğer çözülememiş matematik problemleri)

İkiz asallar, aralarındaki fark 2 olan asal sayılar. Örneğin 3-5, 5-7, 11-13 ikiz asallardır. 2-3 çifti hariç iki asal sayı arasındaki fark da zaten en az 2 olabilir.

İkiz asalların sonsuz tane olmasına ilişkin soru, sayılar kuramının yıllardır çözülememiş en büyük problemlerinden birisidir ve "ikiz asallar sanısı ( varsayımı, kestirimi) olarak adlandırılır. "Hardy-Littlewood sanısı" ikiz asalların dağılımı üzerine "asal sayılar teoremi" ne benzer bir varsayımda bulunur.

Viggo Brun, ünlü " eleme metoduyla" bir x sayısından küçük ikiz asal sayıların sayısının, x/(log)² den küçük olduğunu göstermiştir. Bu sonuç da bütün ikiz asal sayı çiftler toplamının yakınsak olduğunu göstermektedir (bakınız Brun sabiti). Bu tüm asal sayı çiftlerinin toplamının ıraksadığına terstir (p ve p' asal sayılar ve k bir doğal sayı olmak üzere p-p'=2k, bu genellemeden k=1 için ikiz asallar varsayımına gidilir; bahsi geçen tüm asal sayı çiftlerin toplamı k değişken olmak üzere p ve p'lerin toplamıdır). Brun ayrıca her çift sayının, en fazla 9 tane asal çarpanı olan iki tane sayının farkı olarak sonsuz biçimde ifade edilebileceğini göstermiştir. Chen Jingrun'un ünlü teoremi göstermektedir ki herhangi bir m çift sayısı için m ile aralarında en fazla 2 tane asal çarpanı olan bir sayı kadar fark olan asal sayılardan sonsuz tane vardır.

3'ten büyük her ikiz asal sayı çifti, bazı n doğal sayıları için, (6n-1, 6n +1) şeklinde ifade edilir.

Öyle ki n, 1'e eşit değildir ve 0, 2, 3, 5, 7 ile sonlanmak zorundadır.

m ve m+2 sayı çifti ancak ve ancak

4((m-1)!+1)\equiv -m{\pmod {m(m+2)}}

durumunda bir ikiz asal sayı çiftidir.

2005 yılına gelindiğinde bilinen en büyük ikiz asal sayı çifti 16869987339975 · 2¹⁷¹⁹⁶⁰ ± 1 dir. Macar Zoltán Járai, Gabor Farkas, Timea Csajbok, Janos Kasza ve Antal Járai tarafından 2005 yılında bulunmuş olup 51779 haneli sayılardır.

4,35 · 10¹⁵ e değin yapılan tüm asal sayı çiflerin deneysel analizi göstermektedir ki x den az çift sayısı x·f(x)/(log x)² dir. Burada f(x) küçük değerli x ler için yaklaşık 1,7 dir ve x sonsuza giderken yaklaşık 1,3 e kadar azalır. f(x) 'in limit değeri "ikiz asal sabiti" ne eşit olduğu varsayılmaktadır.

2\prod _{\textstyle {p\;{\rm {prime}} \atop p\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)=1.3203236\ldots ;

Bu varsayım ikiz asallar sanısını gerektirmektedir ki hâlâ çözümsüzdür. Türk bilim adamlarından Cem Yalçın Yıldırım'ın da aralarında bulunduğu bir grup bilim insanı bu konu ile ilgili önemli araştırma çalışmaları yapmaktadırlar.

İlk 35 ikiz asal çifti

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883)

Ayrıca bakınız