İki tam kare sayının farkı

Matematiksel olarak iki tam kare farkı bir sayının karesinden başka bir sayının karesinin çıkarılması sonucu elde edilen sayıya denir. Her bir iki tam kare sayı farkı, aşağıdaki temel cebir özdeşliğine göre çarpanlarına ayrılabilir.

$a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)$

Kanıt

Cebirsel kanıt

Dağılma özelliği kullanılarak aşağıdaki gibi ispatlanabilir.

(a+b)(a-b)=a^{2}+ba-ab-b^{2}

Ortadaki iki terimin biri artı işaretli diğeri eksi işaretli olduğu için birbirini götürür.

ba-ab=0

ve sonuç:

(a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}

olur. Ortaya çıkan bu özdeşlik, matematikte en sık kullanılan özdeşliklerden biridir.

Geometrik kanıt

İki kare farkı, geometrik olarak bir düzlemdeki iki kare alanının farkı olarak da gösterilebilir. Şekilde, gölgeli kısım iki karenin alanları arasındaki farkı temsil eder. Gölgeli kısmın alanı, iki dikdörtgenin alanlarının toplanmasıyla bulunabilir.

$a(a-b)+b(a-b)$

Başka bir geometrik ispat şu şekildedir: Aşağıdaki diyagramda gösterilen ilk şekilde, büyük bir kare ve ondan daha küçük bir kare çıkarılmıştır. Tüm karenin bir kenarı $a$ , çıkarılan küçük karenin kenarı $b$ 'dir. Böylece gölgeli bölgenin alanı

$a^{2}-b^{2}$ 'olacaktır.

İkinci diyagramda gösterildiği gibi, bölgeyi iki dikdörtgen parçaya bölen bir kesim yapılır. Üstteki büyük parçanın genişliği $a$ ve yüksekliği $a - b$ 'dir.

Alttaki küçük parçanın genişliği $b$ ve yüksekliği $a - b$ 'dir.

Şimdi küçük parça ayrılabilir, döndürülebilir ve daha büyük parçanın sağına yerleştirilebilir. Aşağıdaki son diyagramda gösterilen bu yeni düzenlemede, iki parça birlikte genişliği

$a + b$ ve yüksekliği $a - b$ 'olan bir dikdörtgen oluşturur.

Bu dikdörtgenin alanı $(a-b)(a+b)$ 'dir.

Bu dikdörtgen, orijinal şeklin yeniden düzenlenmesinden oluştuğu için, orijinal şekille aynı alana sahip olmalıdır.

Zihinden hesaplama

İki karenin farkı zihinden pratik bir hesaplama olarak da kullanılabilir. İki sayının kolayca karesi alınabilen bir ortalaması varsa, çarpımı iki karenin farkı olarak yeniden yazılabilir. Örneğin: $27\times 33=(30-3)(30+3)=30^{2}-3^{2}=891$

Ayrıca bakınız

Özdeşlik