Üreteç fonksiyonu

Matematikte üreteç fonksiyonu ya da üreteç fonksiyon verilen bir dizinin her bir elemanını katsayılarıyla temsil eden biçimsel bir kuvvet serisidir.

Kullanım ve uygulama olanaklarına göre çeşitli üreteç fonksiyonları vardır. En yagın örnekleri arasında, sıradan üreteç fonksiyonu, üstel üreteç fonksiyonu, Lambert serisi, Bell serisi ve Dirichlet serisi vardır.

Tarihçe

Üreteç fonksiyonları ilk defa 1730 yılında Abraham de Moivre tarafından genel doğrusal yineleme problemlerini çözmek amacıyla tanımlanmıştır. Bu tip fonksiyonlara ilk defa üreteç fonksiyonları adını veren ise George Polya'ya göre Laplacetır;ancak, Euler Laplace'tan daha önce bu fonksiyonları kullanıp kombinatorik analiz ve saylar teoreisindeki problemlere uygulamıştır.

Tanım

Bir a_n, $n=0,1,2,\cdots$ dizisine denk düşen (sıradan) üreteç fonksiyonu şöyle tanımlanır:

$G(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}.$

Örneğin, tam kare dizisi için üreteç fonksiyonu a_n = n² dir ve bu halde sıradan üreteç fonksiyonu,

$G(n^{2};x)=\sum _{n=0}^{\infty }n^{2}x^{n}={\frac {x(x+1)}{(1-x)^{3}}}$

olur.

Yakınsaklık

Bir üreteç fonksiyonu, yalnızca biçimsel olarak bir kuvvet serisi olduğundan, her x değeri için yakınsak olmak zorunda değildir. Üreteç fonksiyonunun kullanıldığı bağlam ve örneğe göre kimi zaman uygun düşen x değerleri için yakınsaklığı incelenebilir ve bu x değerleri için eşit olduğu fonksiyon yazılabilir. Örneğin, $1,1,1,\ldots$ dizisine karşılık gelen

$\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}$

üreteç fonksiyonu, $|x|<1$ için ${\frac {1}{1-x}}$ fonksiyonuna eşittir.

Üreteç fonksiyon türleri

Üstel üreteç fonksiyonu

Bir a_n dizisi için üstel üreteç fonksiyonu ise şöyledir:

$EG(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n}.$

Örneğin,

$EG(n^{2};x)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n^{2}x^{n}}{n!}}=x(x+1)e^{x}$

Olasılık üreteç fonksiyonu

Ana madde: Olasılık çıkaran fonksiyon

Bir U olasılık uzayı üzerinde negatif olmayan bir rassal değişken X için (yani her $u\in U$ için $X(u)\geq 0$)

$G_{X}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }p(X(u)=n)x^{n}$

serisine olasılık üreteç fonksiyonu ya da olasılık çıkaran fonksiyon denir. Burada p gösterimi ile olasılık dağılım fonksiyonudur. Örneğin, $a\in \mathbb {N}$ olmak üzere, $p(X(u)=n)={\frac {1}{a}}$, $n=1,\cdots ,a$ olsun. Bu durumda, düzgün dağılım üreteç fonksiyonu

$G_{X}(x)=\sum _{n=0}^{\infty }p(X(u)=n)x^{n}=\sum _{n=1}^{a}p(X(s)=n)x^{n}={\frac {1}{a}}(x+x^{2}+\cdots +x^{a})={\frac {1}{a}}\left({\frac {x-x^{a+1}}{1-x}}\right)$

olarak elde edilir.

Bell serisi

Bir p asal sayısı ve bir a_n, $n=0,1,2,\cdots$ dizisine denk düşen Bell serisi

$BG_{p}(a_{n},x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{p^{n}}x^{n}={\frac {1}{1-p^{2}x}}$

olarak verilir. $$\operatorname {BG} _{p}(a_{n};x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{p^{n}}x^{n}.$$

Dirichlet serisi üreteç fonksiyonu

Bir a_n, $n=0,1,2,\cdots$ dizisine denk düşen Dirichlet serisi

$DG(a_{n};s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}$

olarak tanımlanır. $$\operatorname {DG} (a_{n};s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n^{s}}}.$$

Dış bağlantılar

• Generating Functions, Power Indices and Coin Change29 Nisan 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. at Cut-the-Knot
• Generatingfunctionology PDF download page11 Şubat 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• 1031 Generating Functions
• Ignacio Larrosa Cañestro, León-Sotelo, Marko Riedel, Georges Zeller, Suma de números equilibrados29 Mayıs 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi., newsgroup es.ciencia.matematicas
• Frederick Lecue; Riedel, Marko, et al., Permutation, Les-Mathematiques.net, in French, title somewhat misleading.
• "Generating Functions"1 Haziran 2013 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi. by Ed Pegg, Jr., Wolfram Demonstrations Project, 2007.