Üçgen matris

Doğrusal cebirde üçgen matris, bir özel kare matris tir. Kare matrisin ilkköşegeninin üstündeki girişlerin tümü sıfır ise alt üçgen matris, benzer şekilde ilkköşegenin altındaki girişlerinin tümü sıfır ise üst üçgen matris olarak adlandırılır. Üçgen matris, ya alt üçgen ya da üst üçgen olabilir. Hem üst hem de alt üçgen matris köşegen matris olarak adlandırılır. Matris denklemlerinden dolayı üçgen matrislerin çözümü kolaydır. Bu matrisler sayısal analizde çok sık kullanılır.

Açıklama

L={\begin{bmatrix}l_{1,1}&&&&0\\l_{2,1}&l_{2,2}&&&\\l_{3,1}&l_{3,2}&\ddots &&\\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\\l_{n,1}&l_{n,2}&\ldots &l_{n,n-1}&l_{n,n}\end{bmatrix}}

Yukarıdaki forma sahip bir matris alt üçgen matris veya sol üçgen matris olarak adlandırılır. Benzer olarak,

U={\begin{bmatrix}u_{1,1}&u_{1,2}&u_{1,3}&\ldots &u_{1,n}\\&u_{2,2}&u_{2,3}&\ldots &u_{2,n}\\&&\ddots &\ddots &\vdots \\&&&\ddots &u_{n-1,n}\\0&&&&u_{n,n}\end{bmatrix}}

formuna sahip bir matris üst üçgen matris veya sağ üçgen matris olarak adlandırılır. L (Alt veya solda bulunan) L değişkeni genellikle alt üçgen matrisi ifade etmek için kullanılırken, (üst veya sağda bulunan) U değişkeni de üst üçgen matrisi ifade etmek için kullanılır.

Üst üçgen matrisle yapılabilecek işlemler:

İki üst üçgen matrisin toplamı, üst üçgendir.
İki üst üçgen matrisin çarpımı, üst üçgendir.
Terslenebilir üst üçgen matrisin tersi, üst üçgendir.
Üst üçgen matrisin bir sabitle çarpımı üst üçgen matristir.

Örnek

{\begin{bmatrix}1&4&2\\0&3&4\\0&0&1\\\end{bmatrix}}

yukarıdaki matris, üst üçgen matris iken aşağıdaki matris alt üçgen matristir.

{\begin{bmatrix}1&0&0\\2&8&0\\4&9&7\\\end{bmatrix}}