Üçüncü dereceden denklemler

Üçüncü dereceden denklemler, derecesi 3 olan polinomların oluşturduğu denklemlerdir. Bu denklemlerin genel formu aşağıdaki gibidir

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

x değişken yani bilinmeyendir ve a, b c ve d katsayılar (a ≠ 0 şartıyla), d ise sabit sayıdır.

Genel çözümü

$\vartheta ={\sqrt {27(ad)^{2}+d(4b^{3}-18abc)+4ac^{3}-(bc)^{2}}}$

$\varrho ={\frac {\vartheta }{6{\sqrt {3}}a^{2}}}-{\frac {27a^{2}d-9abc+2b^{3}}{54a^{3}}}$

$x_{1}={\sqrt[{3}]{\varrho }}+{\frac {b^{2}-3ac}{9a^{2}{\sqrt[{3}]{\varrho }}}}-{\frac {b}{3a}}$ olur.

Diğer iki kökü:

$x_{2}=x_{1}cis{\frac {2\pi }{3}}\Rightarrow x_{2}=x_{1}[-{\frac {1}{2}}+i{\frac {\sqrt {3}}{2}}]$

$x_{3}=x_{1}cis{\frac {4\pi }{3}}\Rightarrow x_{3}=x_{1}[-{\frac {1}{2}}-i{\frac {\sqrt {3}}{2}}]$

Üçüncü dereceden denklemin kökleri ile katsayıları arasındaki bağıntılar:

Kökler toplamı: $x_{1}+x_{2}+x_{3}=-{\frac {b}{a}}$

Kökler çarpımı: $x_{1}x_{2}x_{3}=-{\frac {d}{a}}$

Ve $x_{1}x_{2}+x_{2}x_{3}+x_{1}x_{3}={\frac {c}{a}}$ dır.

Kökleri verilen üçüncü dereceden denklemin yazılması:

Kökleri x₁, x₂ ve x₃ olan üçüncü derece denklem $(x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})=0$ dır.

Denklemin bir kökü biliniyorsa:

Denklemin bilinen kökü p olsun ve bu denklem

$(x-p)(ax^{2}+bx+c)=0$ şeklindedir. Çünkü bir (x-p) parantezi alınıp geriye ikinci dereden denklem kalmıştır. Üçüncü denklemin bir kökü biliniyorsa Polinom bölmesi yapılır. Geriye kalan ikinci dereden denklem çarpanlara ayırma veya $x_{1},_{2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac\ }}}{2a}}$ formülüyle çözülebilir. Bu denklemin açılmış hali aşağıdadır.

Bu denklem genelde $ax^{3}+(b-ap)x^{2}+(c-bp)x-cp=0$ şeklindedir.

Diğer yazılar

• Numberempire http://www.numberempire.com/equationsolver.php28 Ağustos 2014 tarihinde Wayback Machine sitesinde arşivlendi.
• Yazının Bağlantısı: III. Dereceden Denklemin Kökleri İle Katsayıları Arasındaki Bağıntılar
• Yazının Kategorisi: II. ve III. Dereceden Denklemler, Matematik 2 (LYS)