Çok değişkenli Gama fonksiyonu

Matematik'te, çok değişkenli Gama fonksiyonu, Γ_p(·), Gama fonksiyonu'nun genelleştirilmiş şeklidir. Çokdeğişkenli istatistik'te kullanılır.

İki eşdeğer tanımı vardır.Birincisi,

$\Gamma _{p}(a)=\int _{S>0}\exp \left(-{\rm {trace}}(S)\right)\left|S\right|^{a-(p+1)/2}dS$

burada S, S>0 pozitif-tanım için anlamlıdır. öteki, pratikte daha çok, kullanılır.

$\Gamma _{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma \left[a+(1-j)/2\right].$

Böylece

• $\Gamma _{1}(a)=\Gamma (a)$
• $\Gamma _{2}(a)=\pi ^{1/2}\Gamma (a)\Gamma (a-1/2)$
• $\Gamma _{3}(a)=\pi ^{3/2}\Gamma (a)\Gamma (a-1/2)\Gamma (a-1)$

Türevler

Biz önce çok değişkenli digama fonksiyonunu tanımlıyoruz.

$\psi _{p}(a)={\frac {\partial \log \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}=\sum _{i=1}^{p}\psi (a+(1-i)/2),$

ve sonra genel poligama fonksiyonu :

$\psi _{p}^{(n)}(a)={\frac {\partial ^{n}\log \Gamma _{p}(a)}{\partial a^{n}}}=\sum _{i=1}^{p}\psi ^{(n)}(a+(1-i)/2).$

Hesaplama adımları

$\Gamma _{p}(a)=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a+{\frac {1-j}{2}}),$

ile aşağıda

${\frac {\partial \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}=\pi ^{p(p-1)/4}\sum _{i=1}^{p}{\frac {\partial \Gamma (a+{\frac {1-i}{2}})}{\partial a}}\prod _{j=1,j\neq i}^{p}\Gamma (a+{\frac {1-j}{2}}).$

• digama fonksiyonu yardımıyla tanım, ψ,

${\frac {\partial \Gamma (a+(1-i)/2)}{\partial a}}=\psi (a+(i-1)/2)\Gamma (a+(i-1)/2)$

aşağıdadır

${\frac {\partial \Gamma _{p}(a)}{\partial a}}=\pi ^{p(p-1)/4}\prod _{j=1}^{p}\Gamma (a+(1-j)/2)\sum _{i=1}^{p}\psi (a+(1-i)/2)=\Gamma _{p}(a)\sum _{i=1}^{p}\psi (a+(1-i)/2).$

Ayrıca bakınız

• Matematiksel fonksiyonların listesi

Kaynakça

• James, A. (1964). "Distributions of Matrix Variates and Latent Roots Derived from Normal Samples". Annals of Mathematical Statistics. 35 (2). ss. 475-501. doi:10.1214/aoms/1177703550. MR 0181057. Zbl 0121.36605.