Çin kalan teoremi

Matematikte Çin kalan teoremi, bir n tamsayısının birkaç tam sayıya bölümünden kalanlar biliniyorsa, n'in bu sayıların çarpımına bölümünden kalanın bulunabileceğini belirtir. Buradaki koşul, n'e bölümlerinden kalanlarını bildiğimiz sayıların birbirleriyle aralarında asal olmaları gerekliliğidir.

Örneğin, n'in 3'e bölümünden kalanın 2 olduğunu, 5'e bölümünden kalanın 3 olduğunu ve 7'ye bölümünden kalanın 2 olduğunu biliyorsak; n'in değerini bilmemize gerek kalmadan n'in 105'e (3, 5 ve 7'nin çarpımı) bölümünden kalanın 23 olduğunu bulabiliriz. Daha da önemlisi, bu bize n'nin 105'ten küçük bir doğal sayı olması durumunda n'nin 23 olması gerektiğini söyler.

Teoremin bilinen en eski ifadesi MS 3. ila 5. yüzyılda Çinli matematikçi Sunzi Suanjing tarafından ortaya konulmuştur.

Çin kalan teoremi, yaygın olarak büyük tam sayılarla yapılan hesaplamalarda kullanılır.

İfade

n₁, ..., n_k, 1'den büyük bölenler olmak üzere n_i çarpımını N ile gösterelim. Çin kalan teoremine göre n_i dizisindeki sayı ikililerinin tümü aralarında asalsa ve a₁, ..., a_k tam sayıların 0 ≤ a_i < n_i eşitsizliğini i'nin tüm değerleri için sağlıyorsa, o halde 0 ≤ x < N olmak üzere i'nin her değeri için x'in n_i'ye bölümünden kalanı a_i yapan yalnız bir x değeri vardır.

Bu durum kongrüanslar ile aşağıdaki şekilde yeniden ifade edilebilir:

$n_{i}$ sayıları çiftler halinde aralarında asalsa, a₁, ..., a_k tam sayılar olmak üzere

${\begin{aligned}x&\equiv a_{1}{\pmod {n_{1}}}\\&\,\,\,\vdots \\x&\equiv a_{k}{\pmod {n_{k}}},\end{aligned}}$

denkliğinin mod N'de yalnız bir çözümü vardır.^[2]

İspat

Benzersizlik

$x$ ve $y$ sayılarının denkliğin iki farklı çözümü olduğunu varsayalım. $x$ ve $y$ sayıları, $n i$ 'ye bölümlerinde aynı kalanı verdiğinden bu sayıların farkı $x - y$ , $n i$ 'nin her değeri için $n i$ 'nin bir katıdır. $n i$ 'nin bütün değerlerinin aralarında asal olduğu göz ününde bulundurulursa, $n i$ dizisindeki sayıların çarpımı olan N sayısı da $x - y$ 'ye tam bölünür. $x$ ve $y$ sayıları negatif olmayan ve N'den küçük tam sayılar olarak alınırsa farkları olan $x - y$ ancak $x = y$ durumunda N'in bir katıdır.

Kaynakça

^ Gauss 1986, Art. 32–36
^ Ireland & Rosen 1990, s. 34

Matematik ile ilgili bu madde taslak seviyesindedir. Madde içeriğini genişleterek Vikipedi'ye katkı sağlayabilirsiniz.

[Gauss1801.loc=32-36-1] Gauss 1986, Art. 32–36

[2] Ireland & Rosen 1990, s. 34

[1]

[2]

g t d Sayılar teorisi
Alanlar	Cebirsel sayı teorisi Analitik sayı teorisi Geometrik sayı teorisi Hesaplamalı sayı teorisi Transandantal sayı teorisi Diophantine geometrisi Aritmetik kombinatorikler Aritmetik geometri Aritmetik topoloji Aritmetik dinamikler
Anahtar kavramlar	Sayılar Doğal sayılar Asal sayılar Rasyonel sayılar İrrasyonel sayılar Cebirsel sayılar Transandantal sayılar p-sel sayılar Aritmetik Modüler aritmetik Çin kalan teoremi Aritmetik fonksiyonlar
Gelişmiş kavramlar	İkinci derece (Kuadratik) biçimler Modüler biçimler L-fonskiyonları Diophantine denklemleri Diophantine yaklaştırımı Sürekli kesirler
Kategori Konuların listesi Rekreasyonel konuların listesi Wikibook (en) Wikversity (en)