Küre

Başlığın diğer anlamları için Küre (anlam ayrımı) sayfasına bakınız.

Küre
Bir kürenin perspektif projeksiyonu
Tür	Pürüzsüz yüzey Cebirsel yüzey
Euler kar.	2
Yüzey alanı	4πr2
Hacim	4/3πr3

Küre (Arapça كرّة‎, kurra(t)), 3 boyutlu geometride bir noktaya eşit uzaklıktaki noktalar kümesidir. O noktaya kürenin merkezi, kürenin merkezinin diğer noktalara uzaklığına kürenin yarıçapı (r) denir. Kürenin en eski örnekleri Antik Yunan matematikçilerinin çalışmalarında görülür.

Küre, matematiğin pek çok alanında temel kabul edilen bir konudur. Doğada ve endüstride insanların karşısına pek çok yerde çıkar. Sabun köpükleri küre şeklinde oluşur, Dünya'nın şekli yaklaşı olarak bir küredir, optik alanındaki çeşitli ayna ve merceklerin tasarılarında küre geometrisinden yararlanılır. Spor branşlarında kullanılan pek çok top, yuvarlanma özelliğinden dolayı küre biçimindedir.

Temel terminoloji

Bir kürenin iki dik yarıçapı

r, kürenin yarıçapını, yani merkez ile küre yüzeyindeki herhangi bir noktanın arasındaki doğru parçasını temsil eder. Bazen bu doğru parçasının uzunluğunun skaler değerine de vurgu yapabilir.

Bir yarıçap, aynı doğrultudaki diğer yarıçap ile birleşirse bu doğru parçası kürenin çapı olur. Çap, merkezden ve kürenin yüzeyindeki iki noktadan geçen doğru parçasını ifade eder. d veya bazen R ile ifade edilir. Uzunluğu, yarıçap uzunluğunun iki katıdır. Formülle ifade edilirse "d=2r" olur. Kürenin içinde çizilebilecek en uzun doğru parçasıdır. Çapın temas ettiği küre yüzeyindeki iki nokta, birbirinin "antipodu" olarak adlandırılır.

Birim küre, yarıçap uzunluğu 1 birim olan (r=1) küreye denir. Bu küreler genellikle problemleri basite indirgeyerek simüle eden hesaplamalarda kullanılır. Birim kürenin merkezi genellikle hesaplamayı basitleştirmek adına başnokta (orijin) kabul edilir.

Bir kürenin büyük dairesi

Büyük daire, bir küreyi iki eş parçaya bölen daireye denir. Aynı zamanda küre içine çizilebilecek en büyük dairedir. Küreyi böldüğü eş parçalara yarım küre denir.

Dünya'nın şekli tam olarak küresel olmasa da küreye benzetilebilir. Dünya'nın merkezinden geçen bir dönme ekseni mevcuttur. Bu eksenin yüzey ile kesişim noktalarında kuzey ve güney kutupları bulunur. Kutuplara eşit uzaklıkta ekvator adında bir büyük daire bulunur. Kutup noktalarından geçen büyük dairelere boylam veya meridyen denir. Ekvatora paralel enlem daireleri bulunur. Dünya tam olarak küre şeklinde olmadığı için bu kavramların verilen tanımları tam olarak doğru değildir ve yanlış anlaşılma doğurmayacağına emin olarak kullanılmalıdır.

Denklemler

Analitik geometride (x₀, y₀, z₀) merkezli ve r yarıçaplı kürenin üç boyutlu Öklid uzayında (x, y, z) eksenlerine göre denklemi aşağıdaki şekildedir.

$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}+(z-z_{0})^{2}=r^{2}.$

Kuadratik (ikinci derece) bir polinomla ifade edilebildiği için küre'nin kuadratik bir yüzey olduğu söylenebilir.

a, b, c, d, e reel sayılar ve a ≠ 0 olmak üzere

$x_{0}={\frac {-b}{a}},\quad y_{0}={\frac {-c}{a}},\quad z_{0}={\frac {-d}{a}},\quad \rho ={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}-ae}{a^{2}}}.$

Olsun. Bu değerlen ile yazılan şu eşitlikte,

$f(x,y,z)=a(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(bx+cy+dz)+e$

$\rho <0$ olması halinde eşitlik reel çözüme sahip olamaz. Bu durumda bu küre hayalî küre olarak adlandırılır. $\rho =0$ ise $f(x,y,z)=0$ eşitliğinin çözümü sadece $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ noktasında sağlanabilir. Bu, yarıçap uzunluğu 0 olan bir küre anlamına gelir ve bu küreye noktasal küre denir. $\rho >0$ durumunda ise $f(x,y,z)=0$ eşitliğini sağlayan değerler, $P_{0}=(x_{0},y_{0},z_{0})$ merkezli ve ${\sqrt {\rho }}$ yarıçaplı gerçek bir küre oluşturur.

Yukarıdaki eşitlikte $a=0$ olursa eşitliğin çözümü, bir düzlem gibi davranır. Kürenin yarıçapı $r$, sonsuzdaki bir noktada konumlanır ve yarıçap uzunluğu da sonsuz olur.

Parametrik

$(x_{0},y_{0},z_{0})$ merkezli ve yarıçapı sıfırdan büyük bir küre, trigonometrik fonksiyonlar ile bir parametrik denklem hâlinde yazılabilir.

${\begin{aligned}x&=x_{0}+r\sin \theta \;\cos \varphi \\y&=y_{0}+r\sin \theta \;\sin \varphi \\z&=z_{0}+r\cos \theta \,\end{aligned}}$

Kullanılan semboller, küresel koordinatlar ile aynıdır. r bir sabittir, θ 0 ile π arasında değişirken ve φ 0 ile 2π arasında değişir.

Özellikler

Hacim

Küre ve küreyi çevreleyen silindir

Üçüncü boyutta bir kürenin hacmi;

$V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}={\frac {\pi }{6}}\ d^{3}\approx 0.5236\cdot d^{3}$

formülüyle hesaplanabilir. Formülde $r$ yarıçap, $d$ çap, $V$ hacim değerini ifade eder. Formül, ilk defa MÖ 225'te Arşimet tarafından yazılan Küre ve Silindir Üzerine isimli kitapta geçer. Kitapta Arşimet, kürenin hacminin küreye teğet olan silindirin hacmine oranının $2/3$ olduğunu ispatlamıştır ve bu ispat, bu formülün temelini oluşturur. Formül, bir yarım kürenin üstüne yüzeyleri teğet bir koni yerleştirilerek de kanıtlanabilir. Koninin bir enine kesitinin alanı ile kürenin bir enine kesitinin alanının, çevreleyen silindirin enine kesitinin alanına eşit olduğu dikkate alınarak ve Cavalieri ilkesi ile kanıtlamak mümkündür. Formül ayrıca integral hesaplamaları ile de ispat edilebilir. Birnevi merkezi orijinde olan bir kürenin hacmini hesaplamak için $x=r$ ve $x=-r$ noktaları arasında yan yana dizilmiş sonsuz sayıda ve sonsuz incelikte dairelerin hacimlerini toplayacak bir integral hesabı ile de küre hacmi hesaplanabilir.

Alan

Kürenin alanı şu formülle hesaplanabilir:

$A=4\pi r^{2}=\pi d^{2}$

Eylemsizlik momenti

İçi dolu bir kürenin eylemsizlik momenti hesaplanırken şu formül kullanılır:

$I={\frac {2}{5}}mr^{2}$

Formülde $m$ kütle, $r$ yarıçapı ifade eder.

Yuvar

Yaygın kullanılmamakla beraber yuvar, küre ve çevrelediği hacmi ifade eden bir geometrik cisimdir. Bu kullanıma göre küre kelimesi de hacimsiz bir cismi ifade eder. İngilizcede bu iki kavram genellikle ayrı iki kelime (ball ve shpere) ile ifade edilse de Türkçede çoğu zaman küre kelimesi, yuvar kelimesini de kapsayacak şekilde kullanılır.