Karmaşık koordinat uzayı

Matematikte, n boyutlu karmaşık koordinat uzayı, kompleks uzay ya da karmaşık uzay, sıralı $n$ tane karmaşık sayıdan oluşan uzaya verilen addır. Bu uzayın elemanlarına karmaşık (kompleks) vektör adı verilir.

Uzay, $n$ tane karmaşık düzlemin Kartezyen çarpımıdır ve $\mathbb {C} ^{n}$ ile gösterilir; yani, $$\mathbb {C} ^{n}=\left\{(z_{1},\dots ,z_{n})\mid z_{i}\in \mathbb {C} \right\}$$ veya $$\mathbb {C} ^{n}=\underbrace {\mathbb {C} \times \mathbb {C} \times \cdots \times \mathbb {C} } _{n}.$$ $z_{i}$ değişkenlerinin her birine karmaşık (kompleks) koordinat denir.

Vektör uzayı

Karmaşık koordinat uzayı karmaşık sayılar üzerinde tanımlanmış bir vektör uzayıdır ve bu haliyle $n$ boyutludur. Vektör uzayındaki toplama işlemi ve skaler çarpım her bir koordinat için ayrı ayrı yapılır. $\mathbb {C} ^{n}$deki vektörlerin gerçel ve sanal kısımları, $\mathbb {C} ^{n}$ ile gerçel koordinat uzayı $\mathbb {R} ^{2n}$ ile birebir ve örten bir ilişki kurar. Bu yüzden, olağan Öklid topolojisi aracılığıyla $\mathbb {C} ^{n}$ de topolojik vektör uzayı olur.

Koordinattan bağımsız olarak, karmaşık sayılar üzerindeki herhangi bir vektör uzayı, boyutun iki katına çıktığı gerçel bir vektör uzayı olarak düşünülebilir. Buradaki karmaşık yapı, sanal sayı $i$ ile çarpmayı tanımlayan ve $J^{2}=-I$ özelliğine sahip doğrusal bir $J$ operatörü tarafından belirlenir.

Böylesine tanımlanmış herhangi bir uzay, gerçel bir uzay olarak, yönlendirilmiş uzaydır. Karmaşık düzlem Kartezyen düzlem olarak ele alınırsa, $w=u+iv$ karmaşık sayısıyla çarpma, $u^{2}+v^{2}=|w|^{2}$ determinantına sahip

${\begin{pmatrix}u&-v\\v&u\end{pmatrix}}$

gerçel matrisiyle temsil edilebilir.

Özel hâl olarak Cⁿ

$\mathbb {C} ^{n}$ üzerinde holomorf koordinat fonksiyonları olduğu için karmaşık manifold olarak da görülebilir. Daha genel olarak, $\mathbb {C} ^{n}$, bir Stein manifoldu ve hatta Stein uzayı olarak düşünülebilir. $\mathbb {C} ^{n}$, ayrıca karmaşık projektif varyete, bir Kähler manifoldu vb. olarak da kabul edilebilir.

Holomorfluk kavramı

Çok değişkenli karmaşık analiz birden fazla karmaşık değişkenli fonksiyonları inceleyen bir matematik dalıdır. $n$ boyutlu karmaşık koordinat uzayındaki açık kümeler üzerinde tanımlı bir fonksiyonun holomorf olması için her bir karmaşık değişkende ayrı ayrı holomorf olması yeterli ve gereklidir.

Ayrıca bakınız

• Koordinat uzayı

Diğer kaynaklar

• Gunning, Robert; Hugo Rossi, Analytic functions of several complex variables