Littlewood 4/3 eşitsizliği

Matematiğin bir alt dalı olan analizde Littlewood eşitsizliği ya da Littlewood 4/3 eşitsizliği, sıfıra yakınsayan sayıl (skaler) dizilerin Banach uzayı olan $c_{0}$ üzerinde tanımlı ve karmaşık değerli çifte doğrusal biçimler için geçerli olan bir eşitsizliktir. Eşitsizlik, matematikçi John Edensor Littlewood'un adını taşımaktadır.

Eşitsizliğin ifadesi

Sıfıra yakınsayan sayıl dizilerin Banach uzayı olan $c_{0}$ üzerinde tanımlı bir $B:c_{0}\times c_{0}\to \mathbb {C} ({\text{veya }}\mathbb {R} )$ çifte doğrusal biçimi için

• $\|B\|:=\sup\{|B(x_{1},x_{2})|:\|x_{i}\|_{\infty }\leq 1\}$
• $\{e_{i}|i=1,2,\cdots \}$, $c_{0}$'daki Schauder tabanı

olmak üzere

$\left(\sum _{i,j=1}^{\infty }|B(e_{i},e_{j})|^{4/3}\right)^{3/4}\leq {\sqrt {2}}\|B\|$

eşitsizliği sağlanır. Üstelde yer alan 4/3 optimaldir; diğer deyişle, üsteli 4/3'ten küçük alınmasıyla eşitsizlik korunmaz. Ayrıca, gerçel sayıl durumunda ise eşitsizlikteki ${\sqrt {2}}$ en iyi kestirim sabitidir.

Bohnenblust-Hille eşitsizliği

Littlewood 4/3 eşitsizliğinin bir genelleştirmesi Amerikalı matematikçi Carl Einar Hille ve İsviçreli ve Amerikalı matematikçi Henri Frederic Bohnenblust tarafından kanıtlanan Bohnenblust–Hille eşitsizliği tarafından verilmektedir. Eşitsizliğin genelleştirilmiş halinde, Littlewood 4/3 eşitsizliğindeki çifte doğrusal biçim yerini çoklu doğrusal biçimlere bırakmaktadır. Daha matematiksel bir ifadeyle, her $m$-doğrusal $M:c_{0}\times \cdots \times c_{0}\to \mathbb {C}$ gönderimi için

$\left(\sum _{i_{1},\ldots ,i_{m}=1}^{\infty }|M(e_{i_{1}},\ldots ,e_{i_{m}})|^{2m/(m+1)}\right)^{(m+1)/(2m)}\leq 2^{(m-1)/2}\|M\|$

eşitsizliği sağlanır.

Ayrıca bakınız

• Grothendieck eşitsizliği