Ardışık sayılar

Ardışık sayılar, kendisinden önce ve sonra gelen sayılara bir kural ile bağlı olan sayılara denir.

n: Bir tam sayı olmak üzere

Ardışık tam sayılar: $n,(n+1),(n+2),...$

Ardışık tek sayılar : $2n-1,2n+1,2n+3,...$

Ardışık çift sayılar : $2n,2n+2,2n+4,...$ (ardışık tek sayılar ve çift sayılar ikişer artarlar.)

Gauss ve ardışık sayılar

Ardışık sayıların mucidi olarak bilinen Carl Friedrich Gauss, 30 Nisan 1777'de Almanya'nın Braunschweig şehrinde doğdu. Gauss, matematiğe olan merakı sayesinde genç yaşta büyük başarılara imza atmıştır.

Bir gün, Gauss'un ilkokul öğretmeni sınıfta ders anlatırken öğrencilerine, 1'den 100'e kadar olan tüm sayıların toplamını bulmalarını istedi. Öğretmenin birikmiş işleri vardı ve amacı, hem öğrencileri biraz oyalamak hem de matematiksel düşünmeyi öğretmekti.

Gauss, birkaç saniye düşündükten sonra cevabı buldu ve defterine yazdı. Diğer öğrenciler hâlâ sayıları toplamaya çalışırken Gauss öğretmenin yanına gitti ve cevabı verdi: 5050.

Öğretmen Gauss'a nasıl bu kadar hızlı bir şekilde cevabı bulduğunu sordu. Gauss, ardışık sayıların toplamını hesaplamak için bir formül keşfettiğini söyledi. Toplamı istenen sayıları düz ve tersten alt alta yazarak topladığında üstteki ve alttaki sayıların toplamı sürekli 101 sayısını veriyordu.

$1+2+3+...+100=A$

$100+99+98+...+1=A$

+___________________________

$101+101+101+...+101=2.A$

Gauss daha sonra 101 ile terim sayısını çarptığında kendisinden istenen sonuçtan 2 tane elde ettiğini gördü. $101.100=2.A$ işlemini gerçekleştirdi ve Gauss, çok kısa yoldan $A=\left({\frac {101.100}{2}}\right)=5050$ cevabını buldu.

Bu olayla Gauss, matematik dünyasında büyük bir olay haline geldi ve daha sonra bilim camiasında büyük bir ün kazandı. Gauss'un ardışık sayıların toplamını bulmak için keşfettiği formül, günümüzde matematiksel hesaplamaların bir parçasıdır ve matematik eğitiminde kullanılmaktadır. Bu formülü kullanarak, 1'den n'ye kadar olan tüm tam sayıların toplamını $\left({\frac {n.(n+1)}{2}}\right)$ olarak bulunur.

Ardışık Sayıların Pascal üçgeni ile ilgisi

n
0	1
1	1  1
2	1  2  1
3	1  3  3  1
4	1  4  6  4  1
5	1  5 10 10  5  1
6	1  6 15 20 15  6  1
7	1 7 21 35 35 21  7  1
8	1 8 28 56 70 56 28  8  1
↓

Pascal üçgeni, binom katsayılarının düzenli bir üçgen yapısında gösterilmesidir ve ardışık sayıların toplamlarıyla doğrudan bir ilişki içerir.

Bu üçgenin yapısını incelediğimizde, sağ kenar boyunca sadece 1'lerin yer aldığını görürüz. Bu kenar, Pascal üçgeninin temel bir özelliğini oluşturur.

Daha içte, her satırın ikinci sütununda ardışık sayılar dizisi yer alır: 1,2,3,4,...,n. Daha da içte ise ardışık sayıların toplamlarını temsil eden bir başka dizi bulunur. Bu dizi, üçgen sayılar olarak bilinir ve 1,3,6,10,...,2n(n+1) şeklinde ifade edilir. Bu üçgen sayıların toplamı ise bir sonraki sütunda yer alır ve bu dizi dörtyüzlüsel sayılar olarak bilinir: 1,4,10,20,.... Böylece Pascal üçgeni, ardışık sayıların, bu sayıların toplamlarının ve bu toplamların toplamlarının bir düzen içinde yer aldığı bir yapıyı temsil eder.

Pascal üçgeninde her eleman, kombinasyonlarla ifade edilir. n-inci satırın k-ıncı elemanı (kn) formülüyle hesaplanır. Örneğin, ikinci sütundaki elemanlar (1n)=n ile, üçüncü sütundaki elemanlar (2n)=2n(n−1) ile, dördüncü sütundaki elemanlar ise (3n)=6n(n−1)(n−2) ile bulunur. Bu ifadeler, ardışık sayıların ve toplamlarının matematiksel açıklamasını sağlar. Sayıların toplamı S1=∑k=1nk=2n(n+1) formülüyle, üçgen sayıların toplamı ise S2=∑k=1n2k(k+1) formülüyle gösterilir. Her bir toplam, Pascal üçgeninde bir sonraki sütuna karşılık gelir.

Bu düzen, Pascal üçgeninin ardışık toplamlarla kurduğu ilişkiyi açık bir şekilde ortaya koyar. Pascal üçgeninin her satırı, binom katsayılarının veya kombinasyonların düzenli bir tablosu olarak bilinse de aynı zamanda ardışık sayıların ve bu sayıların toplamlarının anlaşılması açısından da önemli bir yapı sunar. Üçgenin herhangi bir satırında sol kenardaki sayı, genellikle satırın numarasını veya o satırda ardışık toplamların başlangıç değerini ifade ederken sağ kenardaki sayı ise genellikle 1'dir. İlgili satırda sol kenardaki ve sağ kenardaki sayılar arasındaki fark, satırın sırası ile ilişkili olarak ardışık toplamlardan elde edilen bir değeri temsil eder. Örneğin, Pascal üçgeninin sekizinci satırında sol kenardaki sayı 8, sağ kenardaki sayı ise 1'dir ve aralarındaki fark 8–1=7 olarak bulunur. Bu durum, üçgen içerisindeki ardışık sayılar ve toplamlar arasındaki bağlantıyı ortaya koyduğu gibi üçgenin kendi içindeki matematiksel düzenin de daha iyi anlaşılmasını sağlar. Böylece Pascal üçgeni, yalnızca kombinatorik problemlerde değil aynı zamanda ardışık sayı dizilerinin ve bu dizilerle ilişkili toplamların incelenmesinde de temel bir araç olarak öne çıkar.

Tam sayı dizileri

Bir tam sayı dizisi, her pozitif tam sayı için bir değer üreten açık bir kural veya algoritmayla tanımlanabiliyorsa hesaplanabilir kabul edilir. Bu tür diziler bilgisayar programlarıyla üretilebilir ve sayılabilir bir küme oluştururlar. Ancak tüm olası tam sayı dizilerinin oluşturduğu küme sayılamaz büyüklüktedir. Bu da bazı dizilerin hiçbir algoritmayla üretilemeyeceği anlamına gelir.

Matematikte diziler yalnızca hesaplanabilir olmaktan öte, kimi zaman tanımlanabilirlik niteliğiyle de ele alınır. Bir dizinin tanımlanabilir olması, o dizinin terimlerinin matematiksel bir dil kullanılarak açık ve tek bir formülle ifade edilebilmesi anlamına gelir. Ancak hangi dizilerin bu şekilde tanımlanabileceği, matematiğin içinde icra edildiği temel kuramsal çerçeveye - seçilen küme kuramı modeline - bağlı olarak değişkenlik gösterebilir. Farklı küme kuramı modelleri, tanımlanabilirlik kavramını ve bu tanım kapsamında hangi dizi veya fonksiyonların yer alabileceğini belirleyici rol oynar. Dolayısıyla bir dizinin tanımlanabilir olup olmadığı, yalnızca kendi yapısına değil aynı zamanda matematiksel evrenin dayandığı aksiyomlara ve modellerin sınırlarına da bağlıdır.

Matematikte, Zermelo-Fraenkel küme kuramı (ZFC) gibi sistemlerin kurallarına uyan soyut yapılar olan modeller incelenir. Böyle bir model; sayıların, kümelerin ve dizilerin belirli bir düzen içinde var olduğu hayali bir matematiksel evren gibi düşünülebilir. Bu modellerde bir dizi, eğer herhangi bir dış bilgiye gerek kalmadan yalnızca matematiksel ifadelerle tek olarak tanımlanabiliyorsa model içinde tanımlanabilir kabul edilir.

Bazı modellerde yalnızca belirli diziler tanımlanabilirken diğerlerinde daha fazla sayıda dizi tanımlanabilir olabilir. Ancak hiçbir model, tüm tanımlanabilir dizileri kendi içinde listeleyemez. Ayrıca bazı diziler, tanımlanabilir olmalarına rağmen algoritmik olarak üretilemez, dolayısıyla hesaplanabilir değildir. Bu tür dizilere örnek olarak bilgisayarların çözümleyemeyeceği karmaşık bilgi düzeylerini temsil eden Turing sıçramaları verilebilir.

Bir model, tüm tam sayı dizilerini içeriyorsa bu model kapsamında tanımlanabilir diziler kümesi matematiksel olarak var olur ve bu küme sayılabilir büyüklüktedir, bir başka değişle elemanları doğal sayılarla bire bir eşlenebilecek kadar çoktur. Ancak bu dizilerin hangi formüllerle tanımlandığı bilgisi çoğu zaman modelin kendi içinde bütünüyle belirlenemez. Bunun nedeni modelin içinden bakıldığında bazı tanımlama süreçlerinin dışarıdan gözlemlenebilen veya tanımlanabilen biçimiyle aynı netlikte ifade edilememesidir. Dolayısıyla tanımlanabilirlik kavramı modelin yapısında var olmakla birlikte tanımlanabilir dizileri oluşturan formüllerin tek tek model içinde seçilmesi veya gösterilmesi genellikle mümkün değildir.